오차 방정식

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네 개의 임계점을 가지는 5차함수의 그래프

5차 방정식(Quintic equation)이란, 최고차항의 차수가 5인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은

와 같다. 여기에서 a, b, c, d, e는 각각 계수라고 한다. 는 상수항이라고 부른다.

또한 차수가 홀수인 경우를 기수차라고 하고 짝수인 경우를 우수차라고 할때,

5차방정식은 기수차 방정식이 되겠다. 특히 소수인 차수의 경우를 기약 방정식이라도 한다.

5차방정식의 근[편집]

갈루아아벨은 기하적인 면을 배제하고 계수만 가지고 표현할 수 없다는 것을 증명했다. 반면에 일차, 이차, 삼차, 사차 방정식은 그러한 과정이 가능하다. 이 결과는 아벨-루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)로 알려져 있으며 1924년에 최초로 출판되었다.[1] 종종 일반인들은 이 결과가 '5차 방정식을 항상 풀 수 없다' 또는 '5차 방정식은 해가 없다'로 오해하여 받아들이는데, 이는 잘못된 것이다. 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)에 의해 복소수 범위에서 5차방정식의 해는 항상 존재한다. 다만, 그 해를 유한번의 사칙연산과 거듭제곱근으로 표현을 할 수 없다는 것이다. 이는 마치 자연수를 유한번 이용하여 원주율을 표현할 수 없는 것과 유사하다.

실제적인 문제에서 정확한 해석적 해는 종종 필요없을 때가 있다. 수치적인 근사치로 충분한 경우가 많으며 이를 위해 뉴턴의 방법, Laguerre의 방법, Jenkins-Traub 알고리즘 등 다양한 기법이 알려져 있다.

근과 계수와의 관계[편집]

오차방정식 의 다섯 근을 라고 하면, 다항 방정식에서 근과 계수와는 다음의 관계가 성립한다.

또한,

의 관계가 있다.

특히 각 항()에 따른 계수의 출현에 대한 조합개수는 조합경우의 수로 따져 볼수있다.

5차방정식에 존재하는 5개의 가상의 근을 라고 하면, 1개씩의 조합의 경우의 수는 ,

2개씩의 조합의 경우의 수는 ,

3개씩의 조합의 경우의 수는 ,

4개씩의 조합의 경우의 수는 ,

이다.

5개씩의 조합의 경우의 수는 ,

이다.

차 고차항 압축 정리(취른하우스 변형)[편집]

다항 방정식에서 양변의 각항들을 해당 방정식의 최고차항( 차항)의 의 계수, 로 나눈 다음 의 형태로 치환해서 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬수있는데 이러한 절차로 정리하는것을 차 고차항 압축 정리(zipping)이라고 가정했을때,

위의 5차 방정식은 다음의 꼴로 정리되겠다. 그리고, 이어서 치환하면,

의 꼴로 정리되겠다.

일반적인 해법이 있는 특수 5차 방정식들[편집]

상반방정식 5차 방정식은 차수가 홀수(기수)이므로 우선, 조립제법이나 다항식의 나눗셈 정리의 꼴과 4차 방정식으로 찻수를 낮추어 푼다.

예) : 이 식은 먼저 하나의 해는 무조건 임을 알아야 한다. 이 나올 수 있는 인수는 이므로 조립제법을 통해 남는 인수를 알아낸다. 조립제법을 이용하면 방정식은

가 되고 이 방정식은 짝수차 상반방정식이므로 짝수차의 해법을 이용하여 푼다.

이항방정식

의 꼴은 이항방정식으로 와 근의 계수 를 찾아 5개의 근을 구할수있다.

5차방정식의 판별식[편집]

5차 방정식의 판별식은 59개항으로 이루어져 있다.

실베스터 행렬종결식을 사용한 소행렬식라플라스 전개로 5차방정식의 판별식 유도가 가능하다.

으로 계수를 예약했을때, 실베스터 행렬

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. 출처는 영문 위키피디아