세타 함수

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수학에서 세타 함수(영어: theta function)는 다변수 복소함수의 일종이다. 아벨 다양체모듈러스 공간2차 형식의 연구에 중요하게 쓰이며, 솔리톤 이론에도 응용되었다. 그라스만 대수에 대해 일반화할 경우 양자장론, 특히 끈 이론D-막 등에도 연관된다. 세타 함수의 대표적인 예는 타원함수론에 나타난다.

야코비 세타 함수[편집]

야코비 세타 함수(카를 구스타프 야코프 야코비의 이름에서 비롯됨)는 z와 τ를 변수로 갖는 2변수 복소함수로, z는 임의의 복소수가 될 수 있지만 τ는 상반평면으로 제한되어 언제나 양의 허수부를 갖는다. 그 정의는 다음과 같다.

\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau + 2 \pi i n z}= 1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \left(e^{\pi i\tau}\right)^{n^2} \cos(2\pi n z)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}\eta^n

여기서

q=\exp(2\pi i\tau)
\eta=\exp(2\pi iz)

이다.

τ를 고정시키면 이는 z에 대해 1을 주기로 갖는 전해석함수푸리에 급수가 된다. 이로써 야코비 세타 함수는 다음 항등식을 만족시킨다.

\vartheta(z+1; \tau) = \vartheta(z; \tau)

또한, 보통 다음과 같은 함수들을 정의한다.


\begin{align}
\vartheta_{00}(z;\tau)& = \sum q^{n^2/2}\eta^n = \vartheta(z;\tau)\\
\vartheta_{01}(z;\tau)& = \sum q^{n^2/2}(-\eta)^n = \vartheta(z+{\textstyle\frac{1}{2}};\tau)\\
\vartheta_{10}(z;\tau)& = \sum q^{(n+1/2)^2/2}\eta^{n+1/2} = \exp(\pi i \tau/4 + \pi i z)\vartheta(z +1/2\tau;\tau)\\
\vartheta_{11}(z;\tau)& = \sum q^{(n+1/2)^2/2}(-\eta)^{n+1/2} = \exp(\pi i \tau/4 + \pi i(z+1/2))\vartheta(z+\tau/2 + 1/2;\tau)
\end{align}

이를 다음과 같이 표기하기도 한다.


\begin{align}
\theta_1(z;q) &= -\vartheta_{11}(z;\tau)\\
\theta_2(z;q) &= \vartheta_{10}(z;\tau)\\
\theta_3(z;q) &= \vartheta_{00}(z;\tau)\\
\theta_4(z;q) &= \vartheta_{01}(z;\tau)
\end{align}

야코비 세타 함수는 책마다 조금씩 다르게 정의하는 경우가 많으므로 주의하여야 한다.

리만 세타 함수[편집]

지겔 상반평면

\mathbb{H}_g=\{F\in\operatorname{Mat}(n,\mathbb{C})\colon F=F^\top,\;\mbox{Im} F\text{ is positive-definite}\}

이 주어졌다고 하자. 리만 세타 함수(영어: Riemann theta function)

\vartheta\colon\mathbb C^g\times\mathbb H_g\to\mathbb C
\vartheta\colon(z,\tau)\mapsto\vartheta(z,\tau)

는 다음과 같다.

\vartheta(z,\tau)=\sum_{m\in\mathbb Z^g}\exp\left(2\pi i\left(\frac12m^\top\tau m+m^\top z\right)\right)</math>

이 급수는 \mathbb C^g\times\mathbb H_g의 임의의 콤팩트 부분공간에서 균등수렴한다.

리만 세타 함수는 다음 성질을 만족시킨다.

\vartheta(z+a+\tau b,\tau)=\exp\left(-2\pi i\left(b^\top\tau b/2+b^\top z\right)\right)\theta(z,\tau) (a,b\in\mathbb Z^n)

일반적인 격자의 세타 함수[편집]

양의 정부호 내적이 주어진 격자 (\Lambda,\langle\cdot,\cdot\rangle)가 주어졌다면, 이에 대응하는 세타 열(영어: theta series)

\Theta_\Lambda\colon\mathbb H\to\mathbb C

를 다음과 같이 정의할 수 있다.[1]:44–47

\Theta_\Lambda(\tau)=\sum_{x\in\Lambda}\exp(i\pi\tau\langle x,x\rangle)=\sum_{x\in\Lambda}q^{\langle x,x\rangle/2}
q=\exp(2\pi i\tau)

이는 상반평면 \mathbb H 위의 정칙함수이다. 만약 \Lambdan차원 짝 유니모듈러 격자라면, 이는 무게가 n/2모듈러 형식을 이룬다. 홀 유니모듈러 격자의 세타 함수는 다음과 같은 모듈러 항등식들을 만족시킨다.[1]:186–187

\Theta_\Lambda(\tau)=\Theta_\Lambda(\tau+2)=(i/\tau)^{n/2}\Theta_\Lambda(-1/\tau)

따라서 이는 합동 부분군 Γ0(4)에 대한 무게 n/2의 모듈러 형식이다.[2]

예를 들어, 격자 \mathbb Z에 대한 세타 함수는 다음과 같은 야코비 세타 함수이다.[1]:45

\Theta_{\mathbb Z}=\sum_{n\in\mathbb Z}q^{n^2/2}=\vartheta_{00}(0;\tau)

마찬가지로, 격자 \mathbb Z+1/2에 대한 세타 함수는 다음과 같은 야코비 세타 함수이다.

\Theta_{\mathbb Z+1/2}=\sum_{n\in\mathbb Z}q^{(n^2+n+1/4)/2}=\vartheta_{10}(0;\tau)

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Conway, J.H., N. J. A. Sloane. 《Sphere packings, lattices and groups》, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 290, ISSN 0072-7830, 3판, New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4757-6568-7. Zbl 0915.52003. ISBN 0-387-98585-9
  2. Bachoc, Christine, Gabriele Nebe, Boris Venkov. Odd unimodular lattices of minimum 4. 《Acta Arithmetica》. doi:10.4064/aa101-2-6.

바깥 고리[편집]