포흐하머 기호

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조합론에서, 포흐하머 기호(영어: Pochhammer symbol)는 연속의 정수들의 곱을 나타내는 기호 (x)_n 또는 x^{(n)}이다.

정의[편집]

포흐하머 기호는 두 종류가 있다. 하나는 하강 계승(영어: falling factorial)

x^{\underline n}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\frac{x!}{(x-n)!}=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}

이고, 다른 하나는 상승 계승(영어: rising factorial)

x^{\overline n}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}

이다. 정의에 따라 (x)_0=x^{(0)}=1이다.

포흐하머 기호의 표기는 분야 및 저자에 따라 다를 수 있으므로 주의하여야 한다. 수학 분야에 따라서, 다음과 같은 다른 표기가 존재한다.

하강 상승
도널드 커누스 x^{\underline n} x^{\overline n}
조합론 (x)_n x^{(n)}
초기하함수 이론 (없음) (x)_n

밑줄 · 윗줄을 쓰는 표기는 도널드 커누스가 도입하였다.[1]

성질[편집]

하강 포흐하머 기호

p_n(x)=x^{\underline n}

및 상승 포흐하머 기호

q_n(x)=x^{\overline n}

는 각각 이항형 다항식열을 이룬다. 하강 포흐하머 기호의 경우

(x+1)^{\underline n}-x^{\underline n}=\left((x+1)-(x-n+1)\right)x^{\underline{n-1}}nx^{\underline{n-1}}

이므로, 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 유한 차분

\Delta_+f=\left(\exp\left(\frac d{dx}\right)-1\right)f=f(x+1)-f(x)

이다. 마찬가지로, 상승 포흐하머 기호의 경우

x^{\overline n}-(x-1)^{\overline n}=\left((x+n-1)-(x-1)\right)x^{\overline{n-1}}=nx^{\overline{n-1}}

이므로, 이에 대응하는 델타 작용소는 후방 유한 차분

\Delta_-f=\left(1-\exp\left(-\frac d{dx}\right)\right)f=f(x+1)-f(x)

이다.

역사[편집]

프로이센의 수학자 레오 아우구스트 포흐하머의 이름을 땄다. 그러나 포흐하머 자신은 오히려 (x)_n이항계수 \textstyle\binom xn을 나타내는 데 사용하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Knuth, Donald (1992). “Two notes on notation”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 99 (5): 403–422. arXiv:math/9205211. Bibcode:1992math......5211K. doi:10.2307/2325085. JSTOR 2325085. 

바깥 고리[편집]