조합론에서, 이항 계수(二項係數, 영어: binomial coefficient)는 주어진 크기의 (순서 없는) 조합의 가짓수이다.
자연수
및 정수
가 주어졌을 때, 이항 계수
는 다음과 같다.

이항 계수를
대신
나
로 쓰기도 한다. 이항 계수의 값을 삼각형 모양으로 나열한 표를 파스칼의 삼각형이라고 한다.
인 경우의 이항 계수를 중심 이항 계수(中心二項係數, 영어: central binomial coefficient)라고 한다. 이는 다음과 같다 (
).
- 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 432, 12870, 48620, … (OEIS의 수열 A000984)
항등식[편집]
이항 계수는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다. 이는 이항 계수의 정의로부터 쉽게 증명할 수 있다.

다음과 같은 점화식이 성립하며, 이는 파스칼의 법칙(Pascal-法則, 영어: Pascal’s rule)이라고 한다.

급수 공식[편집]
이항 계수는 다음과 같은 급수 공식들을 만족시킨다. 이들은 대부분 생성 함수(의 도함수)의 특수한 값으로 얻어진다.
- 이항 계수의 합
이 공식들은 생성 함수
(의 도함수)의
값으로부터 유도할 수 있다.


또한, 피보나치 수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서
은
번째 피보나치 수이다.
- 이항 계수의 곱의 합
다음 항등식은 주세걸-방데르몽드 항등식(朱世傑-Vandermonde恒等式, 영어: Zhu–Vandermonde identity)이라고 한다.

이항계수의 제곱의 합은 다음과 같이 중심 이항 계수로 주어진다.

이는 조합론적으로 증명할 수 있다.
은 크기가
집합 속에서
개의 조합의 가짓수인데, 이는 크기
의 집합의 처음 절반에서
개를 고르고, 나머지 절반에서
개를 고르는 가짓수의
에 대한 합
과 같다.
생성 함수[편집]
이항 계수는 다음과 같은 생성 함수를 갖는다.




중심 이항 계수의 생성 함수는 다음과 같다.

점근 공식[편집]
일반적으로, 모든
및
에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

중심 이항 계수의 경우 다음 부등식이 성립한다.

및
에 대하여, 스털링 근사를 사용하여 이항계수를 다음과 같이 근사할 수 있다.

이에 따라, 이항분포를 정규분포로 근사할 수 있다. 특히,
일 경우 중심 이항 계수의 스털링 근사는 다음과 같다.

이다.
만약
이며
라면, 스털링 근사를 사용하여 이항 계수를 다음과 같이 근사할 수 있다.

수론적 성질[편집]
쿠머 정리(Kummer定理, 영어: Kummer’s theorem)에 따르면, 음이 아닌 정수
및 소수
에 대하여,

인 최대
는 다음과 같다.

즉, 이는
를
진법에서 계산할 때 받아올림의 수와 같다.
뤼카의 정리는 이항계수의 소수에 대한 나머지의 값을 제시한다.
중심 이항 계수
은
에 대하여 항상 제곱 인수가 없는 정수이다. 이를 에르되시 추측(Erdős推測, 영어: Erdős squarefree conjecture)라고 한다. 에르되시 팔이 1980년에 추측하였고,[1] 앤드루 그랜빌(영어: Andrew Granville)과 올리비에 라마레(프랑스어: Olivier Ramaré)가 1996년에 증명하였다.[2]
임의의 양의 정수
에 대하여, 다음이 성립한다.

은
인 이항계수
의 수이므로, 임의의 양의 정수는 거의 모든 이항계수를 약수로 가진다. 이는 데이비드 싱매스터(영어: David Singmaster)가 1974년에 증명하였다.[3]
초한 이항 계수[편집]
이항 계수의 정의는 임의의 기수에 대하여 확장할 수 있다. 임의의 기수
에 대하여, 초한 이항 계수(超限二項係數, 영어: transfinite binomial coefficient)

는 크기가
인 집합의, 크기가
인 부분 집합들의 수이다. 만약
와
가 둘 다 유한 기수라면 이는 자연수의 이항 계수의 정의와 일치한다.
초한 이항 계수의 값은 다음과 같다.

첫 번째 경우는

이기 때문이다. (여기서 첫 부등식은
개의, 크기가
인 집합들에서 각각 하나의 원소를 뽑는 것이다.)
특히, 중심 이항 계수는 다음과 같다.

초한 이항 계수의 경우, 유한 이항 계수에 대하여 성립하는 대칭성이 일반적으로 성립하지 않는다.

예를 들어


이다.
조합론[편집]
조합론에서, 이항 계수는 크기가
인 유한 집합의 크기가
인 부분집합의 수이다. 즉,
개의 원소의
개의 조합의 수이다. 이 밖에도, 이항계수는 다음과 같은 다양한 조합론적 문제에 등장한다.
- 카탈랑 수
는 다양한 조합론적 문제의 해이다.
- 크기가
인 집합에서, 크기가
인 중복집합을 고를 수 있는 가짓수는
이다.
개의 기호
및
개의 기호
를 포함하는 문자열의 수는
이다. 또한,
을 부분 문자열로 포함하지 않는 문자열의 수는
이다.
대수학[편집]
이항 계수는 대수학에서 다음과 같이 이항급수의 전개에 사용되며, "이항계수"라는 이름은 이로부터 유래한다.

통계학[편집]
통계학에서, 이항 계수는 이항분포를 정의하는 데 사용된다.
정수론[편집]
베르트랑의 공준을 증명할 때, 중심 이항 계수의 성질로부터 시작한다. 또한, 중심 이항 계수는 아페리 상수
가 무리수임을 증명할 때 쓰이는 급수

에 등장한다.
이항 계수는 파스칼의 삼각형의 형태로 이미 중세 동서양 수학에 알려져 있었다. 오늘날 쓰이는 표기법
은 안드레아스 프라이헤르 폰 에팅스하우젠(독일어: Andreas Freiherr von Ettingshausen)이 1826년에 도입하였다.
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
- Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). 《Concrete mathematics: a foundation for computer science》 (영어) 2판. Addison-Wesley Professional. ISBN 0-201-55802-5. MR 1397498. Zbl 0836.00001.
- Fowler, David (1996년 1월). “The binomial coefficient function”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 103 (1). JSTOR 2975209. Zbl 0857.05003. doi:10.2307/2975209.
- Goetgheluck, P. (1987년 4월). “Computing binomial coefficients”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 94 (4). JSTOR 2323099. Zbl 0617.05004. doi:10.2307/2323099.
- Granville, Andrew (1997). 〈Arithmetic properties of binomial coefficients. I: Binomial coefficients modulo prime powers〉. J. Borwein, P. Borwein, L. Jörgenson, R. Corless. 《Organic mathematics. Proceedings of the Organic Mathematics Workshop, December 12-14, 1995, Simon Fraser University, Burnaby, British Columbia》. Canadian Mathematical Society Conference Proceedings (영어) 20. American Mathematical Society. 253–276쪽. ISBN 978-0-8218-0668-5. Zbl 0903.11005.
- Enochs, Edgar E. (2004). “Binomial coefficients” (PDF). 《Boletín de la Asociación Matemática Venezolana》 (영어) 11 (1): 17–28. Zbl 1062.05007.
외부 링크[편집]