파스칼의 삼각형

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파스칼의 삼각형수학에서 이항계수삼각형 모양의 기하학적 형태로 배열한 것이다. 이것은 블레즈 파스칼에 의해 이름 붙여졌으나 이미 수세기 전에 다른 사람들에게서 연구된 것이다.

단순한 형태로, 파스칼의 삼각형은 다음과 같은 방법으로 만들 수 있다.

  1. 먼저 첫 번째 줄에는 숫자 1을 쓴다.
  2. 그 다음 줄을 만들려면, 바로 위의 왼쪽 숫자와 오른쪽 숫자를 더한다. 예를 들어, 네 번째 줄의 숫자 1과 3을 더하여 다섯 번째 줄의 4가 만들어진다.

수학적으로, 이 구조는 파스칼의 법칙을 사용하여 아래와 같이 표현한다. n 번째 줄의 k 번째 값을 라고 하면, 이 값은

으로 정의된다. 이때,

조합 배열의 예[편집]

처음2줄[편집]

가장자리의 수는 최상위의 1 이 그대로 내려온다.

파스칼의 삼각형의 3열의 내부숫자는 자신의 상위 열의 2개 숫자를 더해서 만든다.

가장자리의 수는 계속해서 최상위의 1 이 그대로 내려온다.

파스칼 삼각형의 6열. 네 번째 줄의 1과 3을 더해 다섯 번째 줄의 4를 만든다.

네 번째 줄의 3과 3을 더해 다섯 번째 줄의 6을 만든다.

Pascal's triangle 5.svg

11줄[편집]

Pascal triangle.svg

19줄[편집]

                                                 1               -> n=0 일때 
                                              1     1            -> n=1 일때
                                           1     2     1         -> n=2 일때
                                        1     3     3     1          .
                                     1     4     6     4     1       .
                                  1     5     10    10    5     1    .
                               1     6     15    20    15    6     1
                            1     7     21    35    35    21    7     1
                          1    8     28    56    70    56    28    8     1
                       1    9     36    84   126   126   84    36    9     1
                    1    10    45   120   210   252    210   120    45    10    1
                 1    11    55   165   330   462    462   330    165   55    11    1
              1    12    66   220   495   792    924   792    495   220    66    12    1
            1   13    78    286  715   1287  1716   1716  1287   715    286   78    13    1
         1   14    91   364   1001  2002  3003   3432   3003   2002   1001  364    91    14    1
      1   15   105   455  1365  3003   5005  6435   6435   5005   3003   1365  455   105   15    1
    1  16   120   560  1820  4368  8008  11440   12870  11440   8008   4368  1820  560   120    16   1
  1  17  136  680  2380  6188  12376  19448  24310   24310  19448  12376  6188   2380  680   136   17   1
1  18 153  816  3060  8568  18564  31824  43758  48620  43758  31824  18564  8568  3060   816   153   18   1

파스칼의 삼각형의 응용[편집]

파스칼의 삼각형은 이항정리에서 계수들의 값을 계산하는 데에 사용된다. 예를 들어

라는 식에서, 각 계수의 값인 1, 2, 1은 파스칼의 삼각형의 3번째 줄에 대응된다.

일반적으로,

와 같은 전개식에서, 가 성립한다. 즉, 는 파스칼의 삼각형의번째 행(row)의 번째 열(column) 값과 순차적으로 대응된다.

소스코드[편집]

스칼라[편집]

var height:Int = 0

def pTriangle(given:Array[Int], stop:Int):Unit =  {
   
    println(given.deep.toString)
    height = height + 1
    
    if (height < stop) {
          val next = Array.ofDim[Int](given.length + 1)
    
    	  for (i <- 0 until next.length) {
      	    if (i == 0 || i == next.length-1) next(i) = 1
    		    else next(i) = given(i-1) + given(i)
    		  }
    		  
    		  pTriangle(next, stop)
      } else {
        height = 0
      }
 }

일반화[편집]

파스칼의 삼각형은 더 높은 차원으로 확장하여 일반화할 수 있다. 3차원 형태는 파스칼의 피라미드 또는 파스칼의 4면체로 부른다. 더 높은 차원의 유사체를 일반적으로 총칭하여 "파스칼의 단체"라고 말한다.

같이 보기[편집]