파스칼의 삼각형

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파스칼의 삼각형수학에서 이항계수삼각형 모양의 기하학적 형태로 배열한 것이다. 이것은 블레즈 파스칼에 의해 이름 붙여졌으나 이미 수세기 전에 다른 사람들에게서 연구된 것이다.

단순한 형태로, 파스칼의 삼각형은 다음과 같은 방법으로 만들 수 있다.

  1. 먼저 첫 번째 줄에는 숫자 1을 쓴다.
  2. 그 다음 줄을 만들려면, 바로 위의 왼쪽 숫자와 오른쪽 숫자를 더한다. 예를 들어, 네 번째 줄의 숫자 1과 3을 더하여 다섯 번째 줄의 4가 만들어진다.

수학적으로, 이 구조는 파스칼의 법칙을 사용하여 아래와 같이 표현한다. n 번째 줄의 k 번째 값을 a_{nk}라고 하면, 이 값은

a_{n1} = 1
a_{nn} = 1
a_{nk} = a_{{n-1}{k-1}} + a_{{n-1}{k}} (n, k>1)

으로 정의된다. 이때,

 {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}

라는 성질에 의해

a_{nk} = {{n-1} \choose {k-1}}

가 성립한다. 즉, n 번째 열의 k 번째 값은 {n-1} \choose {k-1}과 같은 값을 가진다.

삼각형 배열의 예[편집]

6줄[편집]

파스칼의 삼각형의 처음 6열. 네 번째 줄의 1과 3을 더해 다섯 번째 줄의 4를 만든다.

Pascal's triangle 5.svg

10줄[편집]

Pascal triangle.svg

17줄[편집]

                                             1
                                          1     1
                                       1     2     1
                                    1     3     3     1
                                 1     4     6     4     1
                              1     5     10    10    5     1
                           1     6     15    20    15    6     1
                        1     7     21    35    35    21    7     1
                     1     8     28    56    70    56    28    8     1
                  1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
               1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
            1     11    55    165   330   462   462   330   165   55    11    1
         1     12    66    220   495   792   924   792   495   220   66    12    1
      1     13    78    286   715   1287  1716  1716  1287  715   286   78    13    1
    1    14     91   364   1001  2002  3003  3432  3003  2002  1001  364   91    14    1
  1   15    105   455  1365  3003  5005  6435   6435  5005  3003  1365  455   105   15   1
1  16   120   560  1820  4368  8008  11440  12870  11440  8008  4368  1820  560   120  16  1

파스칼의 삼각형의 응용[편집]

파스칼의 삼각형은 이항 전개에서 계수들의 값을 계산하는 데에 사용된다. 예를 들어

(x + 1)^2 = 1 \cdot x^2 + 2 \cdot x + 1

라는 식에서, 각 계수의 값인 1, 2, 1은 파스칼의 삼각형의 3번째 줄에 대응된다.

일반적으로,

(x + y)^n = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} y^1 + a_2 x^{n-2} y^2 + \cdots + a_n y^n

와 같은 전개식에서, a_i = {n \choose i} 가 성립한다. 즉, a_i는 파스칼의 삼각형의 (n+1) 번째 줄의 (i+1) 번째 값과 대응된다.

일반화[편집]

파스칼의 삼각형은 더 높은 차원으로 확장하여 일반화할 수 있다. 3차원 형태는 파스칼의 피라미드 또는 파스칼의 4면체로 부른다. 더 높은 차원의 유사체를 일반적으로 총칭하여 "파스칼의 단체"라고 일컫는다.

같이 보기[편집]