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곱셈 공식 (-公式, multiplication)은 다항식 의 곱셈을 할 때 빠르고 편리하게 계산할 수 있도록 한 공식이다. 곱셈 공식 의 양변을 바꾸면 인수분해 공식이 된다.
따라서, 곱셈공식은 다항식의 항 의 정보와 인수분해의 인수 정보와의 상관관계를 담고 있다.
이때, 인수분해식을 다항식으로 전개하는 것은 쉬운반면,다항식을 인수들로 분해하는것은 쉽지않다.
이것은 원시적이고 전형적인 일방향함수 의 예이다.
따라서, 이 경우에는 곱셈공식과 같이 빠르고 편리한 방법이 효율적이다.
또한, 곱셈공식이 인수 들의 정보를 가지고 있다는 것은 필연적으로 다항식의 항 들이 루트 (근 )의 정보를 또다른 형태로 보여준다는 의미가 되겠다.[1]
잘 알려진 곱셈 공식 [ 편집 ] 2차식
m
(
a
±
b
)
=
m
a
±
m
b
{\displaystyle \,m(a\pm b)=ma\pm mb}
(
a
+
b
)
(
c
+
d
)
=
a
c
+
a
d
+
b
c
+
b
d
{\displaystyle \,(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd}
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle \,(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle \,(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle \,(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}
(
x
+
a
)
(
x
+
b
)
=
x
2
+
(
a
+
b
)
x
+
a
b
{\displaystyle \,(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab}
(
a
x
+
b
)
(
c
x
+
d
)
=
a
c
x
2
+
(
a
d
+
b
c
)
x
+
b
d
{\displaystyle \,(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd}
(
a
+
b
+
c
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2
(
a
b
+
b
c
+
c
a
)
{\displaystyle \,(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)}
(
a
x
+
b
y
)
(
c
x
+
d
y
)
=
a
c
x
2
+
(
a
d
+
b
c
)
x
y
+
b
d
y
2
{\displaystyle \,(ax+by)(cx+dy)=acx^{2}+(ad+bc)xy+bdy^{2}}
(
a
x
+
b
y
+
c
)
(
d
x
+
e
y
+
f
)
=
a
d
x
2
+
(
a
f
+
c
d
)
x
+
(
a
e
+
b
d
)
x
y
+
b
e
y
2
+
(
b
f
+
c
e
)
y
+
c
f
{\displaystyle \,(ax+by+c)(dx+ey+f)=adx^{2}+(af+cd)x+(ae+bd)xy+bey^{2}+(bf+ce)y+cf}
아래 2차식들은 곱셈 공식의 변형 의 일부이다.
a
2
+
b
2
+
c
2
−
(
a
b
+
a
c
+
b
c
)
=
a
2
+
b
2
+
c
2
−
a
b
−
a
c
−
b
c
=
1
2
{
(
a
−
b
)
2
+
(
a
−
c
)
2
+
(
b
−
c
)
2
}
{\displaystyle \,a^{2}+b^{2}+c^{2}-(ab+ac+bc)=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc={\frac {1}{2}}\left\{(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}\right\}}
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
b
2
+
2
a
b
,
(
a
+
b
)
2
−
2
a
b
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle \,(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab,(a+b)^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}}
(
a
−
b
)
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
,
(
a
−
b
)
2
+
2
a
b
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle \,(a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab,(a-b)^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}}
(
a
−
b
)
2
+
2
a
b
=
(
a
+
b
)
2
−
2
a
b
,
(
a
−
b
)
2
+
4
a
b
=
(
a
+
b
)
2
,
(
a
−
b
)
2
=
(
a
+
b
)
2
−
4
a
b
{\displaystyle (a-b)^{2}+2ab=(a+b)^{2}-2ab,(a-b)^{2}+4ab=(a+b)^{2},(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab}
3차식
(
x
±
a
)
(
x
±
b
)
(
x
±
c
)
=
x
3
±
(
a
+
b
+
c
)
x
2
+
(
a
b
+
b
c
+
c
a
)
x
±
a
b
c
{\displaystyle \,(x\pm a)(x\pm b)(x\pm c)=x^{3}\pm (a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x\pm abc}
(
a
±
b
)
3
=
a
3
±
3
a
2
b
+
3
a
b
2
±
b
3
{\displaystyle \,(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}}
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
=
a
3
+
b
3
{\displaystyle \,(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}}
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
=
a
3
−
b
3
{\displaystyle \,(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}}
(
a
+
b
+
c
)
(
a
2
+
b
2
+
c
2
−
a
b
−
b
c
−
c
a
)
=
a
3
+
b
3
+
c
3
−
3
a
b
c
{\displaystyle \,(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}
1
2
(
a
+
b
+
c
)
{
(
a
−
b
)
2
+
(
b
−
c
)
2
+
(
c
−
a
)
2
}
=
a
3
+
b
3
+
c
3
−
3
a
b
c
{\displaystyle \,{\frac {1}{2}}(a+b+c)\left\{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right\}=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}
4차식
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
=
a
4
+
a
2
b
2
+
b
4
{\displaystyle \,(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})=a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}}
(
a
+
b
)
n
{\displaystyle \,(a+b)^{n}}
n
=
{\displaystyle \,n=}
이항 전개 ) 일단 각 항 의 계수 는 생략하였음. 계수 는 파스칼의 삼각형 으로 구한다.
(
a
+
b
)
n
=
a
n
+
a
(
n
−
1
)
b
+
a
(
n
−
2
)
b
2
+
a
(
n
−
3
)
b
3
+
{\displaystyle \,(a+b)^{n}=a^{n}+a^{(n-1)}b+a^{(n-2)}b^{2}+a^{(n-3)}b^{3}+}
+
a
3
b
(
n
−
3
)
+
a
2
b
(
n
−
2
)
+
a
b
(
n
−
1
)
+
b
n
{\displaystyle \,+a^{3}b^{(n-3)}+a^{2}b^{(n-2)}+ab^{(n-1)}+b^{n}}
a
{\displaystyle \,a}
지수 는 점점 작아지고,
b
{\displaystyle \,b}
지수 는 점점 커지며, 전개 한 후에는 모든 항이
n
{\displaystyle \,n}
계수 는 파스칼의 삼각형 을 이용해서 구하는데, 제곱은 3번째 줄, 세제곱은 4번째 줄, 네제곱은 5번째 줄
(
n
{\displaystyle \,(n}
(
n
+
1
)
{\displaystyle \,(n+1)}
)
{\displaystyle )}
계수 로 사용하면 된다.
단, 모든 공식에 복부호 동순 이 적용된다.
a
2
+
b
2
=
c
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
a
2
+
b
2
=
(
a
+
b
)
2
−
2
a
b
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab}
∴
c
2
=
(
a
+
b
)
2
−
2
a
b
{\displaystyle \therefore \,\,c^{2}=(a+b)^{2}-2ab}
c
=
(
a
+
b
)
2
−
2
a
b
{\displaystyle c={\sqrt {(a+b)^{2}-2ab}}}
유클리드 기하학에서의 곱셈공식 [ 편집 ] 유클리드 원론 제2권 법칙4
(
a
+
b
)
2
=
a
+
b
{\displaystyle {\sqrt {(a+b)^{2}}}=a+b}
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
b
2
+
2
a
b
=
a
2
+
b
2
=
a
+
b
{\displaystyle {\sqrt {(a+b)^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab}}={\sqrt {a^{2}}}+{\sqrt {b^{2}}}=a+b}
∴
a
+
a
=
(
a
+
a
)
2
=
(
a
)
2
+
(
a
)
2
+
2
a
a
{\displaystyle \therefore \;\;{\sqrt {a}}+{\sqrt {a}}={\sqrt {({\sqrt {a}}+{\sqrt {a}})^{2}}}={\sqrt {({\sqrt {a}})^{2}+({\sqrt {a}})^{2}+2{\sqrt {aa}}}}}
=
(
a
+
a
)
+
2
a
2
=
(
a
+
a
)
+
2
a
=
2
a
+
2
a
=
4
a
=
2
a
{\displaystyle ={\sqrt {(a+a)+2{\sqrt {a^{2}}}}}={\sqrt {(a+a)+2{a}}}={\sqrt {2a+2a}}={\sqrt {4a}}=2{\sqrt {a}}}
체크 패턴에 대한 곱셈공식 해석 [ 편집 ]
9
{\displaystyle 9}
4
(
2
a
+
a
)
2
{\displaystyle 4(2a+a)^{2}}
=
4
(
(
2
a
)
2
+
2
(
2
a
⋅
a
)
+
a
2
)
{\displaystyle =4((2a)^{2}+{\color {red}2(2a\cdot a)}+a^{2})}
=
4
(
4
a
2
+
4
a
a
+
a
2
)
{\displaystyle =4(4a^{2}+{\color {red}4aa}+a^{2})}
=
4
(
4
a
2
+
4
a
2
+
a
2
)
{\displaystyle =4(4a^{2}+{\color {red}4a^{2}}+a^{2})}
=
16
a
2
+
16
a
2
+
4
a
2
{\displaystyle =16a^{2}+{\color {red}16a^{2}}+4a^{2}}
함께 보기 [ 편집 ] 
