곱셈 공식

곱셈 공식(-公式, multiplication formula)은 다항식의 곱셈을 할 때 빠르고 편리하게 계산할 수 있도록 한 공식이다. 곱셈 공식을 거꾸로 풀면 인수분해 공식이 된다.

잘 알려진 곱셈 공식[편집]

모든 공식에 복부호 동순이 적용된다.

2차식[편집]

좌표평면에서의 곱셈공식의 의미

$\,m(a\pm b)=ma\pm mb$
$\,(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
$\,(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
$\,(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
$\,(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
$\,(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$
$\,(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd$
$\,(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)$
$\,(ax+by)(cx+dy)=acx^{2}+(ad+bc)xy+bdy^{2}$
$\,(ax+by+c)(dx+ey+f)=adx^{2}+(af+cd)x+(ae+bd)xy+bey^{2}+(bf+ce)y+cf$

아래 2차식들은 곱셈 공식의 변형의 일부이다.

$\,a^{2}+b^{2}+c^{2}-(ab+bc+ca)=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca={\frac {1}{2}}\left\{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right\}$
$\,(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab,(a+b)^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}$
$\,(a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab,(a-b)^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}$
$(a-b)^{2}+2ab=(a+b)^{2}-2ab,(a-b)^{2}+4ab=(a+b)^{2},(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab$

3차식[편집]

$\,(x\pm a)(x\pm b)(x\pm c)=x^{3}\pm (a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x\pm abc$
$\,(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$
$\,(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})=a^{3}\pm b^{3}$
$\,(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$
$\,{\frac {1}{2}}(a+b+c)\left\{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right\}=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$
$a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)+3abc$

4차식[편집]

$\,(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})=a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}$
$(a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}$

또한, $\,(a+b)^{n}$ (단, $\,n=$ 자연수) 을 구할 때에는 (이항 전개) 일단 각 항의 계수는 생략하였음. 계수는 파스칼의 삼각형으로 구한다.

\,(a+b)^{n}=a^{n}+a^{(n-1)}b+a^{(n-2)}b^{2}+a^{(n-3)}b^{3}+

···

\,+a^{3}b^{(n-3)}+a^{2}b^{(n-2)}+ab^{(n-1)}+b^{n}

$\,a$ 의 지수는 점점 작아지고, $\,b$ 의 지수는 점점 커지며, 전개한 후에는 모든 항이 $\,n$ 차식이 된다. 또한 생략된 각 계수는 파스칼의 삼각형을 이용해서 구하는데, 제곱은 3번째 줄, 세제곱은 4번째 줄, 네제곱은 5번째 줄 $\,(n$ 제곱은 $\,(n+1)$ 번째 줄 $)$ 의 숫자들을 하나씩 각 항의 앞에 계수로 사용하면 된다.

같이 보기[편집]