곱셈 공식

곱셈 공식(-公式)은 다항식의 곱셈을 할 때 빠르고 편리하게 계산할 수 있도록 한 공식이다. 곱셈 공식의 양변을 바꾸면 인수 분해 공식이 된다.

잘 알려진 곱셈 공식

2차식

• $\,m(a\pm b) = ma\pm mb$
• $\,(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$
• $\,(a\pm b)^2 = a^2\pm 2ab+b^2$
• $\,(a+b)(a-b) = a^2-b^2$
• $\,(x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab$
• $\,(ax+b)(cx+d) = acx^2+(ad+bc)x+bd$
• $\,(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

3차식

• $\,(x\pm a)(x\pm b)(x\pm c) = x^3\pm(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x\pm abc$
• $\,(a\pm b)^3 = a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$
• $\,(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2) = a^3\pm b^3$
• $\,(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^3+b^3+c^3-3abc$
• $\, \frac{1}{2}(a+b+c)\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\} = a^3+b^3+c^3-3abc$

4차식

• $\,(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) = a^4+a^2b^2+b^4$

또한, $\, (a+b)^n$ (단, $\, n =$ 자연수) 을 구할 때에는 (이항 전개) 일단 각 항의 계수는 생략하였음. 계수는 파스칼의 삼각형으로 구한다.

$\, (a+b)^n = a^n+a^{(n-1)}b+a^{(n-2)}b^2+a^{(n-3)}b^3+$···$\,+a^3b^{(n-3)}+a^2b^{(n-2)}+ab^{(n-1)}+b^n$

$\, a$ 의 지수는 점점 작아지고, $\, b$ 의 지수는 점점 커지며, 전개한 후에는 모든 항이 $\, n$차식이 된다. 또한 생략된 각 계수는 파스칼의 삼각형을 이용해서 구하는데, 제곱은 3번째 줄, 세제곱은 4번째 줄, 네제곱은 5번째 줄 ($\, n$ 제곱은 $\, (n+1)$ 번째 둘)의 숫자들을 하나씩 각 항의 앞에 계수로 사용하면 된다.

단, 모든 공식에 복부호 동순이 적용된다.

함께 보기

• 곱셈 공식의 변형
• 인수 분해