근과 계수의 관계

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근과 계수의 관계는 이차 이상의 어떤 고차방정식의 근과 그 방정식의 미지수항,상수항 사이의 관계를 수식으로 나타낸 것이다.프랑수아 비에트의 이름을 따서 비에트의 공식(Viète's formulas)이라고도 불린다.

공식[편집]

계수가 실수이고 최고차항의 계수가 이 아닌 임의의 차 방정식

이 있다고 하자.이는 대수학의 기본정리에 의해 개의 (모두 다를 필요는 없음)의 복소수해 를 가진다.

위 방정식과 근과의 관계가 다음과 같다.

위의 공식은 아래처럼 간단하게 쓸 수도 있다.


[편집]

이차 혹은 삼차방정식의 경우는 중고교시험에서 흔히 등장한다.

이차방정식 에 대하여, 두 근을 라 하면, , 이다.

삼차방정식 에 대하여, 세 근을 라 하면, , , ,이다.

사차방정식 의 네 근을 라고 하면, 방정식의 계수와 근들의 관계는 다음과 같이 성립한다.

계수의 계산[편집]

고차식으로 갈수록 계수의 계산은 복잡해지는데, 계수의 계산은 조합경우의 수 계산식을 이용하면 되겠다.

임의의 집합 에서 개의 원소의 총 갯수에서 개를 선택할때, 그 조합의 경우의 수는,

개의 원소의 조합의 경우의 수

이므로,

4차방정식에 존재하는 4개의 가상의 근을 라고 하면, 1개씩의 조합의 경우의 수는 ,

4개의 가상 근 의 2개씩의 조합의 경우의 수는 ,

4개의 가상 근 의 3개씩의 조합의 경우의 수는 ,

4개의 가상 근 의 4개씩의 조합의 경우의 수는 ,

이다.