비에트 정리

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대수학에서, 비에트 정리(영어: Viète's theorem) 또는 근과 계수의 관계다항 방정식에 대한 기본 대칭 다항식과 방정식의 계수의 관계를 나타내는 일련의 공식이다.

정의[편집]

임의의 복소수 다항식

대수학의 기본 정리에 따라 항상 개의 영점 을 갖는다. 이들 계수와 영점 사이에 다음과 같은 관계가 성립하며, 이를 비에트 정리라고 한다.

자명하지 않은 경우()를 풀어 쓰면 다음과 같다.

비에트 정리는 근을 직접 구하지 않고서도 알 수 있는, 다항 방정식의 근과 계수의 한 가지 관계를 제시한다. 특히, 근의 공식이 존재하지 않는 5차 이상의 방정식의 경우에 유용하다. 사실, 다항식의 영점들은 그 일차 다항식 분해에 대응하므로, 비에트 정리는 일차 다항식들의 곱을 전개하는 공식과 다름 없다.

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일차 방정식[편집]

일차 방정식의 근은 (일차항 계수가 0이 아니라면) 하나이므로, 비에트 정리는 자명하게 성립한다.

이차 방정식[편집]

이차 방정식의 계수와 영점이 다음과 같이 주어졌다고 하자.

이에 대한 비에트 정리는 다음과 같다.

삼차 방정식[편집]

삼차 방정식의 계수와 영점이 다음과 같이 주어졌다고 하자.

이에 대한 비에트 정리는 다음과 같다.

사차 방정식[편집]

사차 방정식의 계수와 영점이 다음과 같이 주어졌다고 하자.

이에 대한 비에트 정리는 다음과 같다.

역사[편집]

프랑수아 비에트가 양의 근에 대하여 증명하였으며,[1] 알베르 지라르(프랑스어: Albert Girard)가 일반적인 경우를 증명하였다.[2]

각주[편집]

  1. Viète, François (1646). Schooten, Frans van, 편집. 《Opera mathematica》 (라틴어). Elsevier. 
  2. Girard, Albert (1884). Haan, Bierens de, 편집. 《Invention nouvelle en l'algèbre》 (프랑스어). Leiden. 

외부 링크[편집]