브라마굽타 공식

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기하학에서, 브라마굽타 공식(Brahmagupta公式, 영어: Brahmagupta's formula)은 원에 내접하는 사각형넓이를 네 변의 길이에 대한 대칭 함수로 나타내는 공식이다.

정의[편집]

내접 사각형 의 네 변의 길이를 , , , 라고 하자. 브라마굽타 공식에 따르면, 이 사각형의 넓이는 다음과 같다.

여기서

반둘레이다.

증명[편집]

삼각법 증명[편집]

내접 사각형의 두 대각은 서로 보각이라는 성질에 의하여,

이다. 삼각형 코사인 법칙을 적용하면 각각

를 얻으며, 이를 연립하면

를 얻는다. 사각형 의 넓이는 삼각형 의 넓이의 합이므로,

이다. 따라서

가 성립한다.

특수한 경우[편집]

헤론의 공식[편집]

헤론의 공식은 브라마굽타 공식의 특수한 경우이다. 브라마굽타 정리에서 두 꼭짓점 C와 D가 같다고 하면, 사각형 ABCD는 삼각형 ABC가 되고, d=0, s=1/2(a+b+c)가 되어, 삼각형 ABC의 넓이는

가 된다.

이중중심 사각형의 넓이[편집]

외, 내접을 모두하는 사각형 의 네 변의 길이를 , , , 라고 하자. 그렇다면 이 사각형의 넓이는 다음과 같다.

이는 이 사각형이 내접 사각형이므로 브라마굽타 공식이 성립하고, 또한 외접 사각형이므로

이기 때문이다.

일반화[편집]

브레치나이더 공식[편집]

브레치나이더 공식(Bretschneider公式, 영어: Bretschneider's formula)은 브라마굽타 공식을 원에 내접하지 않을 수 있는 임의의 사각형에까지 일반화한다. 이에 따르면, 임의의 사각형 의 네 변의 길이를 , , , 라고 하고, 반둘레를 , 넓이를 라고 할 경우 다음이 성립한다.

내접 사각형에서는 이므로

이다. 즉, 브라마굽타 공식은 브레치나이더 공식의 특수한 경우이다.

역사[편집]

인도의 수학자 브라마굽타가 7세기경에 제시하였다.[1]:57, §3.2 그러나 그는 이에 대한 증명을 제시하지는 않았으며, 사각형이 원에 내접해야 한다고 명시하지도 않았다.[2]:188-189, §9.3

각주[편집]

  1. Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0. 
  2. Kline, Morris (1972). 《Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times. Volume 1》 (영어). New York, New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-506135-7. 

외부 링크[편집]