기하학 에서 브라마굽타 공식 (Brahmagupta 公式, 영어 : Brahmagupta's formula )은 원에 내접하는 사각형 의 넓이 를 네 변의 길이에 대한 대칭 함수 로 나타내는 공식이다.
내접 사각형
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
A
B
=
a
{\displaystyle AB=a}
B
C
=
b
{\displaystyle BC=b}
C
D
=
c
{\displaystyle CD=c}
D
A
=
d
{\displaystyle DA=d}
브라마굽타 공식 에 따르면, 이 사각형의 넓이는 다음과 같다.
S
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
{\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
여기서
s
=
a
+
b
+
c
+
d
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}
는 반둘레 이다.
삼각법 증명 [ 편집 ] 내접 사각형의 두 대각은 서로 보각이라는 성질에 의하여,
B
+
D
=
180
∘
{\displaystyle B+D=180^{\circ }}
이다. 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
A
C
D
{\displaystyle ACD}
코사인 법칙 을 적용하면 각각
A
C
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
B
{\displaystyle AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos B}
와
A
C
2
=
c
2
+
d
2
−
2
c
d
cos
D
=
c
2
+
d
2
+
2
c
d
cos
B
{\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}&=c^{2}+d^{2}-2cd\cos D\\&=c^{2}+d^{2}+2cd\cos B\end{aligned}}}
를 얻으며, 이를 연립하면
2
(
a
b
+
c
d
)
cos
B
=
a
2
+
b
2
−
c
2
−
d
2
{\displaystyle 2(ab+cd)\cos B=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}
를 얻는다. 사각형
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
A
B
C
{\displaystyle ABC}
A
C
D
{\displaystyle ACD}
S
=
1
2
a
b
sin
B
+
1
2
c
d
sin
D
=
1
2
(
a
b
+
c
d
)
sin
B
{\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}ab\sin B+{\frac {1}{2}}cd\sin D\\&={\frac {1}{2}}(ab+cd)\sin B\end{aligned}}}
이다. 따라서
16
S
2
=
4
(
a
b
+
c
d
)
2
sin
2
B
=
4
(
a
b
+
c
d
)
2
−
4
(
a
b
+
c
d
)
2
cos
2
B
=
(
2
a
b
+
2
c
d
)
2
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
−
d
2
)
2
=
(
2
a
b
+
2
c
d
−
a
2
−
b
2
+
c
2
+
d
2
)
(
2
a
b
+
2
c
d
+
a
2
+
b
2
−
c
2
−
d
2
)
=
(
(
c
+
d
)
2
−
(
a
−
b
)
2
)
(
(
a
+
b
)
2
−
(
c
−
d
)
2
)
=
(
c
+
d
−
a
+
b
)
(
c
+
d
+
a
−
b
)
(
a
+
b
−
c
+
d
)
(
a
+
b
+
c
−
d
)
=
2
(
s
−
a
)
⋅
2
(
s
−
b
)
⋅
2
(
s
−
c
)
⋅
2
(
s
−
d
)
=
16
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
{\displaystyle {\begin{aligned}16S^{2}&=4(ab+cd)^{2}\sin ^{2}B\\&=4(ab+cd)^{2}-4(ab+cd)^{2}\cos ^{2}B\\&=(2ab+2cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}\\&=(2ab+2cd-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})(2ab+2cd+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})\\&=((c+d)^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-(c-d)^{2})\\&=(c+d-a+b)(c+d+a-b)(a+b-c+d)(a+b+c-d)\\&=2(s-a)\cdot 2(s-b)\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-d)\\&=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)\end{aligned}}}
가 성립한다.
특수한 경우 [ 편집 ] 헤론의 공식 [ 편집 ] 헤론의 공식 은 브라마굽타 공식의 특수한 경우이다. 브라마굽타 정리에서 두 꼭짓점 C와 D가 같다고 하면, 사각형 ABCD는 삼각형 ABC가 되고, d=0, s=1/2(a+b+c)가 되어, 삼각형 ABC의 넓이는
S
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
가 된다.
이중중심 사각형의 넓이 [ 편집 ] 외, 내접을 모두하는 사각형
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
A
B
=
a
{\displaystyle AB=a}
B
C
=
b
{\displaystyle BC=b}
C
D
=
c
{\displaystyle CD=c}
D
A
=
d
{\displaystyle DA=d}
S
=
a
b
c
d
{\displaystyle S={\sqrt {abcd}}}
이는 이 사각형이 내접 사각형이므로 브라마굽타 공식이 성립하고, 또한 외접 사각형 이므로
a
+
c
=
b
+
d
=
s
{\displaystyle a+c=b+d=s}
이기 때문이다.
일반화 [ 편집 ] 브레치나이더 공식 [ 편집 ] 브레치나이더 공식 (Bretschneider 公式, 영어 : Bretschneider's formula )은 브라마굽타 공식을 원에 내접하지 않을 수 있는 임의의 사각형 에까지 일반화한다. 이에 따르면, 임의의 사각형
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
A
B
=
a
{\displaystyle AB=a}
B
C
=
b
{\displaystyle BC=b}
C
D
=
c
{\displaystyle CD=c}
D
A
=
d
{\displaystyle DA=d}
s
{\displaystyle s}
S
{\displaystyle S}
S
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
a
b
c
d
cos
2
A
+
C
2
{\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}}}}
내접 사각형에서는
A
+
C
=
180
∘
{\displaystyle A+C=180^{\circ }}
cos
A
+
C
2
=
0
{\displaystyle \cos {\frac {A+C}{2}}=0}
이다. 즉, 브라마굽타 공식은 브레치나이더 공식의 특수한 경우이다.
인도 의 수학자 브라마굽타 가 7세기경에 제시하였다.[1] :57, §3.2 [2] :188-189, §9.3
↑ Coxeter, H. S. M. ; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0 ↑ Kline, Morris (1972). 《Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times. Volume 1》 (영어). New York, New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-506135-7
외부 링크 [ 편집 ] 
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