차 (수학)

수학에서 차(次, degree) 또는 차수(次數, exponent)는 문자를 포함한 항에서 문자가 곱해진 개수를 의미한다. 어떤 대상이 가진 성질의 정도를 나타내는 것으로 보통 이차방정식이나 삼차방정식, 이차확대체처럼 다항식의 종류나 확대체의 종류를 나타낼 때 자주 쓰인다.

다항식의 차수

정의

다항식을 동류항끼리 계산하여 간단히 하는 것을 "다항식을 정리한다"라고 한다. 다항식을 어떤 문자에 대해 정리하였을 때, 그 문자의 가장 큰 거듭제곱 지수를 그 다항식의 차수라 한다. 다항식 $f$의 차수는 보통 $\deg \,f$로 나타낸다.

예를 들어, $x^{2}+10x+16$의 차수는 2이므로, 이 다항식은 2차식이다. 다항식 $(x^{3}+2x^{2}+3)-(x^{3}+2x+3)$은 $x^{3}$을 포함하고 있지만, 동류항을 묶어 식을 정리하면

$(x^{3}+2x^{2}+3)-(x^{3}+2x+3)=2x^{2}-2x$

이므로, 이 다항식의 차수는 2이다.

문자가 여러 개인 다항식의 차수

두 개 이상의 문자에 대한 다항식은, 각 항마다 각 문자에 대한 지수를 더하여 생각한다.

예를 들어, 두 문자 $x$와 $y$에 대한 다항식 $x^{2}y^{3}+x^{3}+y^{4}+1$에서 각 항의 차수는 다음과 같다.

항	($x$의 지수)+($y$의 지수)
$x^{2}y^{3}$	5
$x^{3}=x^{3}y^{0}$	3
$y^{4}=x^{0}y^{4}$	4
$1=x^{0}y^{0}$	0

가장 큰 값이 5이므로, 이 다항식의 차수는 5가 된다.

차수의 성질

일반적으로 두 다항식 $f$와 $g$에 대하여 다음이 성립한다.

$\deg(f+g)\leq \max(\deg f,\deg g)$

$\deg(fg)=\deg \,f+\deg \,g$

예를 들어, $f(x)=x^{2}+1,g(x)=x+2$일 때,

$f(x)+g(x)=x^{2}+x+3$

$f(x)g(x)=x^{3}+2x^{2}+x+2$

이므로 위의 성질이 성립한다.

상수의 차수는 0이지만, 예외적으로 상수 0의 차수를 $-\infty$로 생각하면 편리한 경우가 많다. 이 경우, 임의의 음이 아닌 정수 $a$에 대하여

$-\infty <a,\ -\infty +a=-\infty$

이므로 차수에 대한 위의 두 성질이 다항식에 0을 더하거나 곱하는 경우에도 성립한다.

확대체의 차수

체 $F$와 그 확대체 $K$에 대하여, $K$를 $F$위에서 정의된 벡터 공간으로 생각할 수 있다. 이때 $K$의 차원 $\dim _{F}{K}$을 확대체 $K$의 $F$에 대한 차수라 하며 $[K:F]$로 나타낸다. 예를 들어 $[\mathbf {Q} ({\sqrt {2}}):\mathbf {Q} ]=2$이므로 $\mathbf {Q} ({\sqrt {2}})$는 $\mathbf {Q}$의 이차확대체이다.

그래프 이론의 차수

무향 그래프에서, 한 꼭짓점에 이어져있는 변의 개수

위상수학에서의 차수

 이 부분의 본문은 연속함수의 차수입니다.