상반평면

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수학에서, 상반평면(上半平面, 영어: upper half-plane)은 복소평면의 위 절반을 일컫는다. 상반평면은 2차원 쌍곡공간의 자연스러운 모형이며, 또한 모듈러 형식들은 자연스럽게 상반평면에 정의된다.

정의[편집]

(열린) 상반평면(영어: (open) upper half-plane) \mathbb H 허수부가 양수인 복소수들의 집합이다. 즉,

\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}\subset\mathbb C

이다. 닫힌 상반평면(영어: closed upper half-plane \bar{\mathbb H})은 허수부가 음수가 아닌 복소수들의 집합이다. 즉,

\bar{\mathbb H}=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z\ge0\}\subset\mathbb C

이다. 보통 복소수를 평면에 대응시킬 때 실수부를 좌우 축으로, 허수부를 상하 축으로 나타내므로, 이 경우 (열린) 상반평면은 실수선 \mathbb R\subset\mathbb C 위의 부분공간이고, 닫힌 상반평면은 실수선 및 열린 상반평면을 포함하는 부분공간이다.