프로베니우스 군

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군론에서, 프로베니우스 군(Frobenius群, 영어: Frobenius group)은 어떤 두 부분군의 반직접곱으로 나타내어지고, 군 표현론이 이 두 부분군으로 인해 완전히 결정되는 유한군이다.

정의[편집]

유한군 가 어떤 유한 집합 위에 다음 조건을 만족시키는 작용을 갖는다면, 프로베니우스 군이라고 한다.

  • 는 두 개 이상의 원소를 갖는다.
  • 추이적 작용이다.
  • 임의의 에 대하여, 만약 이라면 이다.
  • 이며 가 존재한다.

프로베니우스 군 의 원소들 가운데, 어떤 한 점 안정자군 프로베니우스 여군(-餘群, 영어: Frobenius complement) 이라고 한다. (이러한 군들은 모두 서로 켤레 동형이다.) 주어진 프로베니우스 여군 에 대하여, 프로베니우스 핵(-核, 영어: Frobenius kernel) 은 다음과 같은 원소들로 구성된 정규 부분군이다. (이러한 부분 집합은 항상 정규 부분군을 이룸을 보일 수 있다.)

프로베니우스 핵은 프로베니우스 여군의 선택에 의존하지 않는다. 이에 따라, 는 프로베니우스 핵과 프로베니우스 여군의 반직접곱이다.

주어진 유한군 에 대하여, 가 프로베니우스 군이 되게 하는 작용들은 모두 서로 동형이다.

성질[편집]

프로베니우스 군 의 프로베니우스 핵이 이며, 프로베니우스 여군이 라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

  • 멱영군이다.
  • 만약 의 크기가 짝수라면, 아벨 군이다.
  • 의 임의의 부분군 에 대하여, 만약 의 크기가 두 소수의 곱이라면, 순환군이다.

표현[편집]

프로베니우스 군 의 프로베니우스 핵이 이며, 프로베니우스 여군이 라고 하자. 그렇다면 의 복소수 기약 표현들은 다음 두 종류 가운데 하나이다.

  • 의 복소수 기약 표현 에 대하여, 라면 의 복소수 기약 표현이다.
  • 의 복소수 기약 표현 에 대하여, 만약 가 자명한 1차원 표현이 아니라면, 에 대한 유도 표현 역시 의 복소수 기약 표현이다.

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대표적인 프로베니우스 군의 예로는 다음을 들 수 있다.

군의 크기 작용하는 집합의 크기 프로베니우스 핵 프로베니우스 여군
6 3
, 는 아벨 군

역사[편집]

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 도입하였다.

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]