리 군론에서 리 대수 아이디얼(Lie代數ideal, 영어: Lie algebra ideal)은 몫을 취할 수 있는 리 대수의 부분 리 대수이다. 군론의 정규 부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념이다.
가환환 위의 리 대수 의 부분 리 대수(部分Lie代數, 영어: Lie subalgebra) 는 리 괄호에 대하여 닫힌 -부분 가군이다. 즉, 이며 이다.
가환환 위의 리 대수 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 리 대수 아이디얼(영어: Lie algebra ideal)이라고 한다.
- -부분 가군이며, 이다.
- 인 리 대수 준동형 가 존재한다.
리 대수 아이디얼에 대하여, 몫 리 대수(영어: quotient Lie algebra) 를 정의할 수 있다.
리 초대수의 경우[편집]
위의 개념들은 리 초대수에 대하여 그대로 일반화될 수 있다.
가환환 위의 리 초대수 의 부분 리 초대수(部分Lie初代數, 영어: Lie sub-superalgebra) 는 리 초괄호에 대하여 닫힌 -부분 가군이다. 즉,
이다.
가환환 위의 리 초대수 의 아이디얼(영어: ideal) 는 다음 조건을 만족시키는 -부분 가군이다.
즉, 이라고 할 때,
- 는 리 대수 의 아이디얼이다.
- 는 의 표현을 이루며 (), 또한 을 만족시킨다.
L∞-대수의 경우[편집]
위의 개념들은 L∞-대수에 대하여 그대로 일반화될 수 있다.
가환환 위의 L∞-대수 의 부분 L∞-대수(部分L∞-代數, 영어: L∞-subalgebra) 는 모든 항수의 괄호에 대하여 닫혀 있는, 동차 -부분 가군이다. 즉,
이다. 여기서 은 등급 의 성분을 취하는 사영 함수이다.
가환환 위의 L∞-대수 의 아이디얼(영어: ideal) 는 다음 조건을 만족시키는 -부분 가군이다.
특히, 일 때 이 조건은
이다. 즉, 는 의 부분 공사슬 복합체를 이룬다.
함의 관계[편집]
모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 가환환 위의 리 대수 의 부분 집합에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
- 리 대수 아이디얼 ⊆ 부분 리 대수 ⊆ -부분 가군 ⊆ 덧셈 부분군 ⊆ 부분 집합
다른 성질과의 관계[편집]
표수 0의 체 위의 유한 차원 리 대수 에 대하여, 다음과 같은 성질들이 아이디얼로서 정의된다.
리 대수의 종류 |
리 대수 아이디얼을 통한 정의
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단순 리 대수 |
정확히 두 개의 아이디얼 (즉, )을 가지며, 아벨 리 대수가 아님
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반단순 리 대수 |
아벨 아이디얼은 밖에 없음
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아벨 리 대수 |
모든 -부분 가군이 리 대수 아이디얼임
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정확히 한 개의 아이디얼을 가짐
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자명한 리 대수 아이디얼[편집]
모든 리 대수 에 대하여, 과 는 (자명하게) 의 리 대수 아이디얼이다. 이들에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.
직합 성분[편집]
같은 가환환 위의 두 리 대수 , 의 직합 에서, 는 각각 의 리 대수 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.
리 대수 중심[편집]
가환환 위의 리 대수 의 중심(中心, 영어: center) 은 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다.
이는 아벨 리 대수를 이루며, 항상 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심의 개념에 대응한다.
유도 리 대수[편집]
가환환 위의 리 대수 가 주어졌을 때, 부분 공간
는 의 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이를 의 유도 리 대수(영어: derived Lie algebra)라고 한다.
리 대수 근기[편집]
리 대수 근기는 리 대수의 최대 가해 아이디얼이다.
외부 링크[편집]