호모토피 이론에서 설리번 대수(Sullivan代數, 영어: Sullivan algebra)는 특별한 형태의 유리수 계수 가환 미분 등급 대수이다. 이를 통하여, 위상 공간의 호모토피 군에서, 꼬임 부분군을 제외한 나머지 부분(즉, 유리수와의 텐서곱)을 계산할 수 있으며, 이 이론을 유리수 호모토피 이론(有理數homotopy理論, 영어: rational homotopy theory)이라고 한다.[1][2]
체
위의 설리번 대수
는 다음과 같은 데이터로 주어진다.[3]:Definition 1.10
- 정렬 집합
. 이로부터
-벡터 공간
을 정의할 수 있다.
- 함수
. 이로부터 등급 벡터 공간
,
을 정의할 수 있다. 또한, 이로부터 외대수
를 정의할 수 있으며, 이는 가환
-등급 대수를 이룬다.
- 함수
. 이는 선형성 및 곱 규칙을 사용하여 미분 연산
로 연장된다.
이는 두 다음 조건을 만족시켜야 한다.
- 임의의
에 대하여,
이다.
는 가환 미분 등급 대수를 이룬다.
설리번 대수
가 다음 조건을 만족시킨다면, 최소 설리번 대수(最少Sullivan代數, 영어: minimal Sullivan algebra)라고 한다.
는 증가 함수이다. 즉, 임의의
에 대하여
라면
이다.[3]:Definition 1.10
상대 설리번 대수[편집]
보다 일반적으로, 설리번 대수의 개념을 다음과 같이 상대화할 수 있다.
체
위의 가환 미분 등급 대수
위의 상대 설리번 대수(相對Sullivan代數, 영어: relative Sullivan algebra)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 정렬 집합
. 이로부터
-벡터 공간
을 정의할 수 있다.
- 함수
. 이로부터 등급 벡터 공간
,
을 정의할 수 있다. 또한, 이로부터 외대수
를 정의할 수 있으며, 이는 가환
-등급 대수를 이룬다.
- 함수
. 이를 선형성 및 곱 규칙에 따라
로 연장시킬 수 있다.
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
- 임의의
및
에 대하여,
이다.
는 가환 미분 등급 대수를 이룬다.
이 정의에서, 만약
가 증가 함수라면, 이를 최소 상대 설리번 대수(最小相對Sullivan代數, 영어: minimal relative Sullivan algebra)라고 한다.
설리번 대수는
위의 상대 설리번 대수와 같으며, 최소 설리번 대수는
위의 최소 상대 설리번 대수와 같다.
가환 미분 등급 대수
에 대한 임의의 상대 설리번 대수
에 대하여, 임의의
에 대하여,
를 정의하면,
역시
위의 상대 설리번 대수를 이룬다. (여기서
은 함수의 제한을 뜻한다.)
또한, 만약
가 최소 상대 설리번 대수라면
역시 최소 상대 설리번 대수이다.
낮은 차수가 자명한 설리번 대수[편집]
집합
및 함수
![{\displaystyle \deg \colon B\to \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5687f798f0840fe1c6eb1485f81b598f90d5c2af)
및 임의의 함수
![{\displaystyle \mathrm {d} \colon B\to V=\bigwedge (\operatorname {Span} _{K}B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175d88244b7635dc9514adb4906ecd55f2d75ae1)
가 주어졌다고 하자. 이는 곱 규칙을 사용하여
![{\displaystyle \mathrm {d} \colon V\to V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b015fda9cb9fd6ef76a7cf4f17cd945068d46c)
로 연장시킬 수 있다.
가 미분 등급 대수를 이룬다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.[3]:Remark 1.11
- 만약
라면,
위에는 항상
가 설리번 대수가 되게 하는 정렬 순서
를 부여할 수 있다.
- 만약
이며, 임의의
에 대하여
이라면 (즉,
가 길이 2 이상의 문자열들의 선형 결합이라면),
위에는 항상
가 최소 설리번 대수가 되게 하는 정렬 순서
를 부여할 수 있다.
또한, 만약
일 때, 주어진 설리번 대수와 유사동형인 최소 설리번 대수는 (동형을 무시하면) 유일하다. 즉, 최소 설리번 대수들은 설리번 대수들의 유사동형(의 지그재그)에 대한 동치류들과 전단사로 대응한다.
위상 공간의 설리번 대수[편집]
임의의 단체 복합체(와 호모토피 동치인 위상 공간)
에 대하여, 유리수 계수 다항식 미분 형식의 설리번 대수
를 정의할 수 있다. 이는 일반적으로 매우 큰 설리번 대수이지만, 이에 대한 최소 설리번 대수는 쉽게 계산하고 다룰 수 있다. 형식적 공간(영어: formal space)은 그 유리수 계수 다항식 미분 형식의 설리번 대수가 형식적인 단체 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간이다.
위상 공간의 설리번 대수들의 유사동형(의 지그재그) 동치류들은 위상 공간의 유리수 호모토피 동치(영어: rational homotopy equivalence)와 같다. 즉, 위상 공간의 유리수 호모토피 동치류는 최소 설리번 대수들로 구별할 수 있다.
위상 공간의 호모토피 군[편집]
단체 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간
의 유리수 계수 다항식 미분 형식 대수가 설리번 대수
와 유사동형이라고 하자. 또한,
가 멱영 공간이라고 하자.
그렇다면, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \pi _{i}(X)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \cong \operatorname {Span} _{\mathbb {Q} }\deg ^{-1}(i)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b646aaa9c857299529ca2b5d262cc5d628287765)
즉,
의
차 호모토피 군의 계수는 차수
를 갖는 기저 벡터의 수와 같다.
이분율[편집]
코호몰로지
![{\displaystyle \bigoplus _{i}\operatorname {H} ^{i}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1659aaaedd6e6f5f615c00a2c6d27b1a910486fd)
의 차원이 유한한 연결 단일 연결 최소 설리번 대수
는 다음과 같이 두 종류로 분류될 수 있다.
- 타원형(영어: elliptic):
![{\displaystyle \textstyle \dim \bigoplus _{i}\pi _{i}(X)<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f245322d2005e2f1c76e39cd77d95661022816e)
- 쌍곡형(영어: hyperbolic):
![{\displaystyle \textstyle \dim \bigoplus _{i}\pi _{i}(X)=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb2d8351e3a57e1baed253f3d6190829e66656d)
타원형 최소 설리번 대수
에 대하여, 그 생성원의 차수들이
![{\displaystyle 2a_{1},2a_{2},\dotsc ,2a_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2aefc677f7db3c6220b8eaa11ed0b733f56d0d6)
및
![{\displaystyle 2b_{1}-1,2b_{2}-2,\dotsc ,2b_{q}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/783f3ab9235065e156ff95264f83ad413fbd9dcd)
라고 하자. 즉,
개의 짝수 차수 생성원과
개의 홀수 차수 생성원이 존재한다. 그렇다면, 다음이 성립한다.[3]:Theorem 2.27
![{\displaystyle \sum _{i}(2b_{i}-1)-\sum _{j}(2a_{j}-1)=\operatorname {fdim} X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a688966ac9e35336ea2cbe1d9ccbad87001799da)
![{\displaystyle \sum _{j}a_{j}\leq {\frac {1}{2}}\operatorname {fdim} X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b096f226741fd74f6d06eea9ab51f9a3f3ca9ad9)
![{\displaystyle \sum _{i}(2b_{i}-1)\leq 2(\operatorname {fdim} X)-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/194fa2871f1b56c0b715f525d213e6eda17018ca)
![{\displaystyle p\leq q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e46e733ff7a6d62f7685d4c20e4a467e984dfdf)
여기서
![{\displaystyle \operatorname {fdim} X=\max\{n\in \mathbb {N} \colon \operatorname {H} ^{n}(X)\neq 0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1afccfd33a1549d45c92cceb4fadbdb2cc3914e)
은
의 형식적 차원(영어: formal dimension)이다.
쌍곡형 최소 설리번 대수에 대하여, 다음이 성립한다.
- 호모토피 군들의 차원은 기하 수열 이상으로 증가한다. 즉,
이 되는 실수
및 자연수
이 존재한다.[3]:Theorem 2.33
- 임의의
에 대하여,
이며
인
가 존재한다.[3]:Theorem 2.34
- 임의의
에 대하여,
인
가 존재한다.[3]:Theorem 2.34
자명한 설리번 대수[편집]
임의의 정렬 집합
및 임의의 증가 함수
![{\displaystyle \deg \colon B\to \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5687f798f0840fe1c6eb1485f81b598f90d5c2af)
에 대하여, 자명한 미분
![{\displaystyle \mathrm {d} b=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e8af81b3243027f10c62caf10a73f88ffe79d37)
을 부여하자. 그렇다면,
은 최소 설리번 대수를 이룬다.
특히,
일 때,
은
위의 최소 설리번 대수를 이룬다.
홀수 차원 초구[편집]
차원 초구
의 유리수 계수 코호몰로지는 다음과 같다.
![{\displaystyle \dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {H} ^{k}(\mathbb {S} ^{n})\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} ={\begin{cases}1&k=0,n\\0&k\neq 0,n\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09473d38b28fc4624842a75328aefbdc713501c5)
따라서, 홀수 차원의 초구의 경우, 최소 설리번 모형은 차수
의 생성원
하나만을 가지며, 이 경우
이다.[2]:259–260, Example 19.1 즉,
![{\displaystyle B=\{a\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec68c5a44f1c424cf3233f61b3fd432cc8e3d73)
![{\displaystyle \deg \colon a\mapsto 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed50df774ea0128a48b4b9884981fcb8066f21c)
![{\displaystyle \mathrm {d} a=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e861000671f050de6d1dc94ec3d48e15effbaa59)
이다.
짝수 차원 초구[편집]
짝수 차원의 초구의 경우, 최소 설리번 모형은 차수
의 생성원
를 가지지만,
가 짝수 차수를 가지므로
이다. 따라서,
가 코호몰로지류를 이루는 것을 막기 위해,
차의 생성원
를 추가해야 한다. 즉, 최소 설리번 대수는 다음과 같다.[2]:260, Example 19.2
![{\displaystyle B=\{a,b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5842afc6bc9adcf7662806eb17134746b25bbc)
![{\displaystyle a<b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a7698e4c7401bb321f97888b872b583a9e4642)
![{\displaystyle \deg \colon a\mapsto n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2a2604314cb213c4705092b4579c4b9321a296)
![{\displaystyle \deg \colon b\mapsto 2n-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a84d8f1b1a848173eb56776e1cf5addce4dc38)
![{\displaystyle \mathrm {d} a=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e861000671f050de6d1dc94ec3d48e15effbaa59)
![{\displaystyle \mathrm {d} b=a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0062f40201ad2bbb33881011011ad59877de8ba8)
이에 따라, 초구의 호모토피 군의 계수를 계산할 수 있다. (그러나 초구의 호모토피 군의 꼬임 부분군을 계산하는 것은 매우 어려운 문제이다.)
복소수 사영 공간[편집]
복소수 사영 공간
의 유리수 계수 코호몰로지는
![{\displaystyle \dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {H} ^{k}(\mathbb {CP} ^{n})\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} ={\begin{cases}1&k=0,2,\dots ,2n\\0&k\neq 0,2,\dots ,2n\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc0dba5a00367f78801cc49527dc53230cd2b8f9)
이다. 따라서, 이 경우 최소 설리번 모형은 다음과 같다.[2]:260, Example 19.3
![{\displaystyle B=\{a,b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5842afc6bc9adcf7662806eb17134746b25bbc)
![{\displaystyle a<b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a7698e4c7401bb321f97888b872b583a9e4642)
![{\displaystyle \deg a=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9eeaf96c936eb32e520aa367896ed2b7699bd2)
![{\displaystyle \deg b=2n+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6909725330bd3e7ff80cb1596291398ae2c2e45)
![{\displaystyle \mathrm {d} a=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e861000671f050de6d1dc94ec3d48e15effbaa59)
![{\displaystyle \mathrm {d} b=a^{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9db45db5fc13793c79cece69711381213f805328)
무한 차원 복소수 사영 공간
의 경우, 최소 설리번 모형은 다음과 같이 생성원
가 없어져 더 간단하다.
![{\displaystyle \deg a=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9eeaf96c936eb32e520aa367896ed2b7699bd2)
![{\displaystyle \mathrm {d} a=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e861000671f050de6d1dc94ec3d48e15effbaa59)
비형식적 최소 설리번 대수[편집]
형식적이지 않은 최소 설리번 대수의 예로는 다음을 들 수 있다.
![{\displaystyle B=\{a,b,x,y\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/440519ac4cae10f05f00b3657c48823e3339e02d)
![{\displaystyle a<b<x<y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86fc8acf62fded6c31475d3e6c7ca5ab8012bf34)
![{\displaystyle \deg a=2,\quad \deg b=\deg x=3,\quad \deg y=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874e6962e161df7069dc319b0ffdca8c5eb8411b)
![{\displaystyle \mathrm {d} a=\mathrm {d} b=0,\qquad \mathrm {d} x=a^{2},\qquad \mathrm {d} y=ab}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bbb90193c6b0a874a1bb33e5f560780903b0543)
이 설리번 대수의 코호몰로지는
,
,
로 구성된다. 최소 설리번 대수에서 그 코호몰로지로 가는 등급 대수 준동형
는 차수의 제약에 따라
![{\displaystyle f(a)\propto [a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6361ca59b9a285bd76e22005d898033b54bcc922)
![{\displaystyle f(y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2976583e0e880854e110b4c2c2fcf3e978ccaa)
![{\displaystyle f(b)\propto [b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c02c2c58f8801cc11244a0e2629d2932f2164acb)
![{\displaystyle f(x)\propto [b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b4b8fd9ec15ea0241fc1780533c892579fa0625)
가 되는데, 따라서
![{\displaystyle f(xb-ay)=f(x)f(b)-f(a)f(y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b360a63441e767f11a8f49c77ee08824f372cc8d)
이 된다. 따라서,
는 유사동형이 될 수 없다.
설리번 대수가 아닌, 외대수 위의 미분 등급 대수 구조[편집]
다음과 같은 구성을 생각하자.
![{\displaystyle B=\{x,y,z\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4ed2fdd4d5dfee3a53020f3edfd95b6c38c64ae)
![{\displaystyle \deg x=\deg y=\deg z=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b66a96b8370002ae90fc858a7b0898fab65b935)
![{\displaystyle V=\bigwedge (\operatorname {Span} _{K}B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e35d45656b2e10b2f30235ea5e6d2d2d2968a816)
![{\displaystyle \mathrm {d} x=yz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da34bc8d51cc4884f846c83c9b5a95423ceaad22)
![{\displaystyle \mathrm {d} y=zx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855a36b340721478e0a96ff99b0f2d6b999ef74c)
![{\displaystyle \mathrm {d} z=xy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cce28b95c16b929b152fc52b2b100d736c71bd9)
이는 가환 미분 등급 대수를 이루며,
는
로 생성되는 외대수이지만,
위에는
가 설리번 대수가 되게 하는 전순서
를 줄 수 없으며,
의 다른 기저를 잡더라도 이를 설리번 대수로 만들 수 없다.[3]:Example 1.12
데니스 설리번이 1970년대에 제창하였다.[4]
외부 링크[편집]