미분 대수

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추상대수학에서, 미분 대수(微分代數, 영어: differential algebra)는 곱규칙을 만족하는 자기 선형 변환이 갖추어진 결합 대수이다. 해석학에서의 미분 연산을 공리화한 개념이다.

정의[편집]

미분[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

  • 가환환
  • 위의 결합 대수
  • -쌍가군 . 또한, 왼쪽과 오른쪽 -작용이 서로 일치한다고 하자 (). (다시 말해, 위의 왼쪽 가군이다.)

그렇다면, 값의, 위의 미분(微分, 영어: derivation)은 다음과 같은 -선형 변환이다.

이는 다음과 같은 곱규칙을 만족시켜야 한다.

흔히, 를 사용한다.

미분 대수[편집]

미분 대수 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 가환환
  • 위의 결합 대수
  • 미분을 이루는 자기 사상 . (이는 결합 대수 준동형이 될 필요가 없다.)

특히, 정수환 위의 결합 대수이므로, 만약 (정수환)인 경우, 그 위의 미분 대수를 미분환(微分環,영어: differential ring)이라고 한다. 또한, 이며 를 이루는 경우, 미분체(微分體, 영어: differential field)라고 한다.

만약 미분 대수의 개념에, 등급을 주어 일반화하면 미분 등급 대수의 개념을 얻는다.

미분 대수 준동형[편집]

같은 가환환 위의 두 미분 대수 , 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 미분 대수 준동형(微分代數準同形, 영어: differential algebra homomorphism)은 대수 구조로서의 준동형이다. 즉, -결합 대수 준동형 가 다음 조건들을 만족시킨다면, 미분 대수 준동형을 이룬다.

미분체 확대(微分體擴大, 영어: differential field extension)는 두 미분체 사이의 미분 대수 준동형이다. 이는 체의 확대이므로 항상 단사 함수이다.

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교환자[편집]

가환환 위의 결합 대수 의 원소 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 교환자

를 정의한다면 는 다음과 같이 미분 대수를 이룬다.

다항식환[편집]

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다항식환 위에 다음과 같은 선형 변환 을 정의할 수 있다.

그렇다면 는 미분 대수를 이룬다.

매끄러운 함수[편집]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 위의 실수 값 매끄러운 함수들의 집합 를 생각하자. 이는 실수 벡터 공간을 이루며, 또한 점별 합과 곱에 대하여 실수 결합 대수를 이룬다.

벡터장은 위에 미분 연산자로 작용한다. 국소 좌표계로 표현하면 다음과 같다.

그렇다면, 는 미분 대수를 이룬다.

리 대수[편집]

가환환 위의 리 대수 가 주어졌다고 하자. 위의 미분 은 다음 조건을 만족시키는 -선형 변환이다.

이 경우, 보편 포락 대수 위에 자연스럽게 다음과 같이 확장된다.

그렇다면, 는 미분 대수를 이룬다.

참고 문헌[편집]

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]