산술 도함수

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수론에서 산술 도함수(算術導函數, 영어: arithmetic derivative)란 정수 상에서 소인수 분해를 기초로 정의된 함수로서, 라이프니츠 법칙을 만족하여 일종의 도함수처럼 계산할 수 있는 것이다.

정의[편집]

우선 음이 아닌 정수에 대해 산술 도함수는 다음과 같이 귀납적으로 정의한다.

  • 임의의 소수 에 대해 .
  • 임의의 에 대해 . (라이프니츠 법칙)

여기에 덧붙여 이라 둔다. 그러면 이상에서 모든 자연수 및 0에 대해 산술 도함수가 잘 정의된다. 구체적으로, 임의의 1보다 큰 정수 에 대해 산술의 기본정리를 적용하여 다음과 같이 놓자.

여기서 는 서로 다른 소수이며 는 양의 정수이다. 그러면, 의 산술 도함수는,

와 같이 명시적으로 구할 수 있다. 이러한 정의를 처음으로 공식화한 사람은 E. J. Barbeau인데, Barbeau는 이상의 자연수 및 0에 대한 정의를 받아들이면 음의 정수에 대하여도 와 같이 정의할 경우 모든 정수 상에서 산술 도함수가 유일하게 확장됨을 증명하였다.

기본 성질과 확장[편집]

산술 도함수는 이상의 정의에 따라 소수 와 양의 정수 에 대해 다음과 같은 거듭제곱 법칙을 만족한다.

이를테면 다음과 같다.

또 기술한 Barbeau는 유리수에 대하여 다음의 몫의 법칙을 만족하도록 산술 도함수를 확장할 수 있음도 보였다.

Victor Ufnarovski와 보 올란데르(Bo Åhlander)는 이상의 정의를 일부 무리수에 대해서도 확장하였다. 이러한 무리수에 대한 확장에서는, 전술한 소인수 분해를 통한 명시적 정의식의 형태는 그대로 적용되나 지수 부분인 는 임의의 유리수를 취할 수 있다.

나아가, 형식적으로 와 같이 로그 도함수를 정의할 수 있는데, 이 로그 도함수의 정의역을 자연수에 제한할 경우 완전 가법적 함수(totally additive function)가 된다. 즉, 임의의 자연수 a, b에 대하여,

이 성립하게 된다.

평균 차수[편집]

산술 도함수와 산술 로그 도함수의 평균 차수(average order)에 대한 다음과 같은 결과가 있다.(이하에서 n 은 자연수이다)

여기서 δ는 임의의 양수이며, 는 다음과 같다.

부등식과 상하계[편집]

E. J. Barbeau는 산술 도함수의 상하계에 대하여 다음 두 부등식이 성립함을 보였다.(이하에서 n 은 자연수이다)

여기서 kn 의 최소 소인수이며,

여기서 sn 을 나누는 소수의 가짓수이다. 이상의 부등식들은 n 이 2의 거듭제곱수일 때, 즉 꼴에 대해서만 등호가 성립한다.

Alexander Loiko와 요나스 에른스트 올손(Jonas Ernst Olsson), 니클라스 달(Niklas Dahl)은 산술 도함수의 정의역을 앞에서와 같은 방식으로 유리수로 확장했을 때에는, 두 서로 다른 유리수 사이에는 임의로 크거나 작은 산술 도함수를 갖는 유리수들이 존재함을 보임으로써 비슷한 부등식이 성립할 수 없음을 보였다.

수론의 문제들과의 관련성[편집]

빅토르 우프나롭스키(Victor Ufnarovski)와 보 알란데르는 유명한 수론의 미해결 문제인 쌍둥이 소수 추측, 소수 세짝 추측, 골트바흐의 추측과 산술 도함수가 관련이 있음을 보였다. 예로, 골트바흐의 추측을 가정하면 1보다 큰 자연수 k에 대하여 n' = 2k 을 만족하는 자연수 n 이 항상 존재한다. 또 쌍둥이 소수 추측을 가정하면 k'' = 1 을 만족하는 자연수 k는 무수히 많다.

참고 문헌[편집]