환론에서 등급 가군(等級加群, 영어: graded module)은 등급이 붙어, 등급환이 (왼쪽 또는 오른쪽에서) 작용할 수 있는 가군이다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 모노이드
![{\displaystyle (I,\cdot ,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0075483a1fd6070466fa97d29085b72afb6c2001)
-등급환 ![{\displaystyle \textstyle R=\bigoplus _{i\in I}R_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf324913d7db2ac2921460f50b9eef348051187)
그렇다면,
위의 왼쪽 등급 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 아벨 군의 족
. 또한,
로 표기하자.
위의
-왼쪽 가군 구조 ![{\displaystyle R\otimes _{\mathbb {Z} }M\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff7217e816b9f52129e87939eaa1865e90029ac8)
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
![{\displaystyle R_{i}M_{j}\subseteq M_{ij}\qquad \forall i,j\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191fed89814857f65f4bd248b894c8f82712d740)
마찬가지로,
위의 오른쪽 등급 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 아벨 군의 족
. 또한,
로 표기하자.
위의
-오른쪽 가군 구조 ![{\displaystyle M\otimes _{\mathbb {Z} }R\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa17331428a3635dc94c27a19db2b9a2b1ba4daa)
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
![{\displaystyle M_{i}R_{j}\subseteq M_{ij}\qquad \forall i,j\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/538d3771f2515ceb13ef6ed14a8c3582cb71154b)
만약
이 체일 때,
-등급 가군은 (
-벡터 공간이므로) 보통
-등급 벡터 공간(等級vector空間, 영어: graded vector space)이라고 부른다.
등급 가군 준동형[편집]
두
-왼쪽 등급 가군
,
사이의 준동형
은 다음 조건을 만족시키는
-왼쪽 가군 준동형이다.
![{\displaystyle f(M_{i})\subseteq N_{i}\qquad \forall i\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf6ee26e8a1a12556782a01033c75141aa5a2c6)
두
-오른쪽 등급 가군 사이의 준동형 역시 마찬가지로 정의된다.
-등급환
위의 왼쪽 등급 가군들의 족
이 주어졌을 때, 이들의 직합
![{\displaystyle M=\bigoplus _{a\in A}M^{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b0e31ae600e4b1e0b8ec81f4d15c5bbde38025)
![{\displaystyle M_{i}=\bigoplus _{a\in A}M_{i}^{a}\qquad \forall i\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a3ae392ab9b3874fd806d336dc6a7cfa092fc61)
역시
-왼쪽 등급 가군을 이룬다.
오른쪽 등급 가군의 경우도 마찬가지이다.
텐서곱[편집]
-등급환
위의 두 왼쪽 등급 가군
,
이 주어졌을 때, 그 텐서곱
![{\displaystyle (M\otimes N)_{i}=\bigoplus _{j,k\in I\colon jk=i}M_{i}N_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d21dbf8b64b47336b3b780265dda559f2686b32)
을 정의할 수 있다. 이 역시
-왼쪽 등급 가군을 이룬다.
오른쪽 등급 가군의 경우도 마찬가지이다.
-등급환
위의 왼쪽 등급 가군
및
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
의
-뒤틂(영어: twist)
은 다음과 같다.
![{\displaystyle M(i_{0})_{i}=M_{ii_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bcd9ae02cc7fd5dcbf040027d979d30846bc335)
마찬가지로,
-등급환
위의 오른쪽 등급 가군
및
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
의
-뒤틂(영어: twist)
은 다음과 같다.
![{\displaystyle M(i_{0})_{i}=M_{i_{0}i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6649ff0e13c0e859770a78f14d16048856f38c9)
힐베르트-푸앵카레 급수[편집]
-등급환
위의 왼쪽 등급 가군
의 힐베르트-푸앵카레 급수(영어: Hilbert–Poincaré series)는 (만약 존재한다면) 다음과 같다.
![{\displaystyle p_{M}(t)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\ell _{R_{0}}(M_{i})t^{i}\in \mathbb {Z} [[t]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916fd6f62d32727c73f708e012b47dd3cafb2160)
여기서
는 (
-왼쪽 가군으로서의) 길이이다. 만약 이것이 무한하다면 힐베르트-푸앵카레 급수는 존재하지 않는다.
는 정수 계수 1변수 형식적 멱급수환이다.
체
에 자명한
-등급을 부여하였을 때,
-등급 가군
![{\displaystyle V=V_{0}\oplus V_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f6d9926d0d77bd3ae90d7f2b89ec6900cdb80b)
은
-초벡터 공간(영어: super-vector space)이라고 한다.
정수환
에 자명한 등급을 부여하였을 때, 그 위의 등급 가군은 등급 아벨 군(영어: graded Abelian group)이라고 한다.
참고 문헌[편집]
- Nastasescu, C.; Van Oystaeyen, F. (2004). 《Methods of graded rings》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 1836. Springer-Verlag. doi:10.1007/b94904. ISBN 978-3-540-20746-7. ISSN 0075-8434.
- Nastasescu, C.; Van Oystaeyen, F. (1982). 《Graded ring theory》 (영어). North-Holland.
외부 링크[편집]