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힐베르트 다항식

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대수기하학에서 힐베르트 다항식(Hilbert多項式, 영어: Hilbert polynomial)은 대수다양체의 함수 대수의 모양을 담고 있는, 생성함수의 일종이다.

정의[편집]

힐베르트 급수와 힐베르트 함수[편집]

위의 등급 벡터 공간 가 주어졌다고 하고, 각 등급의 차원이 유한하다고 하자.

힐베르트 급수(Hilbert級數, 영어: Hilbert series) 또는 힐베르트-푸앵카레 급수(Hilbert-Poincaré級數, 영어: Hilbert–Poincaré series)는 다음과 같은 형식적 멱급수이다.

힐베르트 함수(Hilbert函數, 영어: Hilbert function)는 다음과 같은, 자연수의 집합에서 자연수의 집합으로 가는 함수이다.[1]:42[2]:51

힐베르트 다항식[편집]

만약 다음 조건을 만족시키는 다항식 및 자연수 가 존재한다면, 이를 힐베르트 다항식이라고 한다.[1]:42[2]:52

위 조건을 만족시키는 최소의 힐베르트 정칙성(Hilbert正則性, 영어: Hilbert regularity)이라고 한다.

성질[편집]

가법성[편집]

힐베르트 다항식과 힐베르트 급수는 짧은 완전열에 대하여 가법적이다. 즉, 체 위의 세 개의 유한 생성 등급 가환 결합 대수 , , 가 주어졌고, 이들이 등급 -가군의 짧은 완전열

을 이룬다면, 다음이 성립한다.

이는 짧은 완전열에서 (등급) 벡터 공간의 차원이 가법적이기 때문이다.

힐베르트-세르 정리[편집]

가 단순히 등급 벡터 공간이 아니라, 유한 생성 등급 가환 단위 결합 대수라고 하자. 힐베르트-세르 정리(영어: Hilbert–Serre theorem)에 따르면, 는 항상 힐베르트 다항식을 갖는다.[1]:42, Theorem 1.11[2]:51, Theorem I.7.5

구체적으로, 생성원들이 라고 하자. 그렇다면 힐베르트 급수는 다음과 같은 꼴을 취한다. 여기서 는 양의 정수 계수의 다항식이다.

만약 모든 생성원의 등급이 1일 경우, 이는 다음과 같다.

따라서,

이다. 이는 에 대한 다항식이므로,

로 놓으면

이다. 즉, 등급이 1인 유한 개의 생성원들로 생성되는 등급 가환 단위 결합 대수의 경우 힐베르트 다항식이 항상 존재하며, 이 경우 힐베르트 정칙성은 이하이다.

보다 일반적으로, 생성원들의 등급이 1이 아닐 경우에도 마찬가지 논리로 힐베르트 다항식이 존재한다.

응용[편집]

대수기하학에서, 힐베르트 다항식은 다양하게 응용된다.

사영 대수다양체[편집]

대수적으로 닫힌 체 위의 차원 사영 공간

다항식 등급환 사영 스펙트럼이며, 그 속의 사영 대수다양체 는 동차 아이디얼 에 의하여 정의된다. 이 경우, 사영 대수다양체

의 동차 좌표환 의 힐베르트 다항식 는 사영 대수다양체의 기하학적 성질과 다음과 같이 대응한다.

  • 의 (다항식으로서의) 차수는 차원과 같다.[2]:51, Theorem I.7.5
  • 의 최고차항의 계수는 의 (대수다양체로서의) 차수와 의 차원의 계승의 비이다.[2]:52–54

리만-로흐 문제[편집]

대수적으로 닫힌 체 위의 비특이 대수다양체 위에 선다발 이 주어졌다고 하자. 이 경우, 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따라,

이며, 은 차수 의 유리수 계수 다항식이다. 만약 매우 풍부한 선다발이라면, 충분히 큰 에 대하여 이며, 또한 사영 공간으로의 매장

이 존재한다. 은 이 매장에 대한 힐베르트 다항식을 이룬다.[2]:170, Exercise II.7.6

이에 따라서, 힐베르트 다항식의 0에서의 값은 오일러 지표가 된다.

보다 일반적으로, 만약 풍부한 선다발이라면, 여전히 은 다항식을 이루며, 이를 힐베르트 다항식으로 여길 수 있다.

힐베르트-사뮈엘 함수[편집]

뇌터 가환 국소환 유한 생성 가군 으뜸 아이디얼 가 주어졌을 때, 등급 -가군

을 정의하자. (여기서 로 정의한다.) 이 경우, -가군을 가군의 길이로 측정한다면, 힐베르트-사뮈엘 함수(영어: Hilbert–Samuel function)

를 정의할 수 있다. 이에 대하여 항상 힐베르트 다항식이 존재함을 보일 수 있으며, 이 힐베르트 다항식을 힐베르트-사뮈엘 다항식(영어: Hilbert–Samuel polynomial)이라고 한다.[1]:272, Proposition 12.2

힐베르트-사뮈엘 다항식 의 차수는 크룰 차원보다 1만큼 작다.[1]:274, Theorem 12.4

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사영 공간[편집]

사영 공간의 힐베르트 다항식은 다음과 같다.[2]:52, Proposition I.7.6(c) 다항식환

에서, 힐베르트 함수는 다음과 같다.

따라서, 힐베르트 다항식은 이와 같다.

대수기하학적으로, 사영 공간을 스스로에 매장된 사영 대수다양체로 여긴다면, 이는 차원의 1차 사영 대수다양체임을 알 수 있다.

여차원 1의 초곡면[편집]

다항식환

속에서, 동차다항식 로 생성되는 동차 아이디얼 에 대한 몫등급환 의 힐베르트 함수는 다음과 같이 계산할 수 있다.[2]:52, Proposition I.7.6(d) 짧은 완전열

으로 인하여, 힐베르트 함수 및 힐베르트 다항식은 다음과 같다.

이를 대수기하학적으로 해석하면 차 동차다항식의 영점 집합은 차원 사영 공간 속에서 차원 차 사영 대수다양체를 정의한다.

대수 곡선[편집]

종수 의 비특이 대수 곡선 위의 매우 풍부한 선다발 을 통하여, 를 사영 공간에 매장하였다고 하자.

이 경우, 힐베르트 다항식은 다음과 같다.

여기서 을 정의하는 인자의 차수이다. 즉, 대수 곡선의 차수는 그 위의 인자의 차수와 일치한다.

대수 곡면[편집]

산술 종수 대수 곡면 위에, 매우 풍부한 선다발 이 주어졌다고 하고, 이에 대응하는 베유 인자라고 하자. 그렇다면 이에 대한 단면으로서 사영 공간으로의 매장

이 유도되며, 이에 대한 힐베르트 다항식은 곡면 리만-로흐 정리에 따라서 다음과 같다.

여기서 표준 인자이다. 즉, 이 경우 매장의 차수는 자기 교차수 이며, 힐베르트 다항식의 1차 계수는 표준 인자교차수의 절반이다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. Zbl 0819.13001. 
  2. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 

외부 링크[편집]