리 군론에서 하이젠베르크 군(Heisenberg群, 영어: Heisenberg group)은 멱영 리 군의 하나이다. 양자역학에서 쓰인다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 표수가 2가 아닌 체
![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
위의 심플렉틱 벡터 공간 ![{\displaystyle (V,\omega \colon V\times V\to K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add29af52f880f764cc51a90cb64372c6620c282)
그렇다면,
-벡터 공간
![{\displaystyle V\oplus K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c12fa5c42b8aace1d2650d7a1b9701dba7be152)
위에 다음과 같은 군 연산을 주자.
![{\displaystyle (\mathbf {u} ,s)\cdot (\mathbf {v} ,t)=(\mathbf {u} +\mathbf {v} ,s+t+\omega (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )/2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d9bfd84738a5dca25d4ed2328be76c6b41310b)
이는 군의 공리들을 만족시킴을 보일 수 있으며, 그 항등원은
![{\displaystyle (\mathbf {0} ,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c241f5e49a1026208e0fa76ee39d1992d69538e)
이며, 그 역원은
![{\displaystyle -(\mathbf {u} ,s)=(-\mathbf {u} ,-s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0127855641393f1294e2b53b89e382069479fcb9)
이다. 이 군을 V에 대한 하이젠베르크 군
라고 한다.
보통
가 명시되어 있지 않은 경우,
인 경우에 해당한다. 즉,
를 의미한다.
리 대수[편집]
표수가 2가 아닌 체
위의 심플렉틱 벡터 공간
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 벡터 공간
위에 다음과 같은 리 대수 구조를 줄 수 있다.
![{\displaystyle [(\mathbf {u} ,s),(\mathbf {v} ,t)]=(\mathbf {0} ,\omega (\mathbf {u} ,\mathbf {v} ))\qquad \forall \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V,\;s,t\in K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfdfa62295a9f2e0df5f3536bb34c540e166f009)
이를 하이젠베르크 리 대수(영어: Heisenberg Lie algebra)
라고 한다.
가 유한
차원일 때, 심플렉틱 기저
를 잡을 수 있다.
위에서, 하이젠베르크 리 대수의 리 괄호는 다음과 같은 꼴이다.
![{\displaystyle [{\mathsf {p}}_{i},{\mathsf {q}}^{j}]=\delta _{i}^{j}{\mathsf {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed155cad3f87cb7462c92d0f0181b1f19ee6abcc)
![{\displaystyle [{\mathsf {p}}_{i},{\mathsf {c}}]=[{\mathsf {q}}_{i},{\mathsf {c}}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c476637993bd379d81261b5b55263afc98fcaa)
여기서
는 크로네커 델타이다.
하이젠베르크 군
는 아벨 군
의 중심 확대이다. 즉, 다음과 같은 군들의 짧은 완전열이 존재한다.
![{\displaystyle 1\to K{\xrightarrow {t\mapsto (\mathbf {0} ,t)}}H(V){\xrightarrow {(\mathbf {v} ,t)\mapsto \mathbf {v} }}V\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe61637a3c9ce98f65c6d7296e67a944ef6c59a3)
마찬가지로, 다음과 같은 리 대수의 짧은 완전열이 존재한다.
![{\displaystyle 0\to K\to {\mathfrak {heis}}(V,\omega ;K)\to V\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc2e7816d10a25b8eceb457fa1afb02d327b47cf)
여기서
와
는 아벨 리 대수이다.
표수 0의 체 위에서, 유한 차원 하이젠베르크 군은 멱영군이며, 하이젠베르크 리 대수는 멱영 리 대수이다.
위상수학적 성질[편집]
만약
일 경우, 그 위의 유한 차원 하이젠베르크 군은 리 군을 이룬다. 이는 연결 단일 연결 멱영 리 군이며, (정의에 따라) 유클리드 공간과 미분 동형이다.
행렬 표현[편집]
표수 0의 체
위의 내적 공간
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
![{\displaystyle V^{*}\oplus V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa23807965acf111f84058ab4fddbdea69f31b00)
위에 다음과 같은, 표준적인 심플렉틱 벡터 공간 구조가 존재한다.
![{\displaystyle \omega (\phi ,u)=-\omega (u,\phi )=\langle \phi |u\rangle \qquad \forall u\in V,\;\phi \in V^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92412cf581c1e3c1e3600e874cd688b55087a27e)
![{\displaystyle \omega (u,v)=\omega (\phi ,\chi )=0\qquad \forall u,v\in V,\;\phi ,\chi \in V^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b026f9cb49f8670baacbaa4fbe29dae260d0377)
그렇다면, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.
![{\displaystyle \operatorname {Heis} (V^{*}\oplus V)\to \operatorname {GL} (K\oplus V\oplus K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd4fdf7b3fe27896f84f8f9281bd28d45b6485c)
![{\displaystyle (\phi ,u,t)\mapsto {\begin{pmatrix}1&\phi &t+\langle \phi |u\rangle /2\\0&1_{V}&u\\0&0&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9eede24767a91aa0fd2714409df7df1be2c37a8)
지수 사상[편집]
하이젠베르크 군
의 리 대수
는 다음과 같은 꼴의 행렬들로 구성된다.
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n\times n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{pmatrix}}\in {\mathfrak {heis}}(2n+1;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad05c2ac8a43404e0ef6a9c84b2e7182930ee7f)
이 경우, 리 지수 사상은 다음과 같다.
![{\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n\times n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\mathbf {a} &c+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )/2\\0&I_{n\times n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba787468cc6f90abf486b61734057826ec5aecd)
표현론[편집]
하이젠베르크 군의 군 표현론은 스톤-폰 노이만 정리에 따라 주어진다. 이 정리에 따라, 하이젠베르크 군
의 비자명 유니터리 기약 표현은 (몇 가지의 기술적인 조건을 충족시킨다면) 르베그 공간
위의 다음과 같은 표현
와 동형이다.
![{\displaystyle \rho _{\hbar }{\begin{pmatrix}1&p&t+pq/2\\0&I_{n\times n}&q\\0&0&1\end{pmatrix}}\colon \psi (x)\mapsto \exp(i(qx+\hbar (t+pq)/2))\psi (x+\hbar p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb3a48e7099ed30b8cbdc46402abbc15178476b3)
이를 리 대수
에 대하여 표기하면 다음과 같다.
![{\displaystyle P^{i}\psi (x)=\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\psi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0048eb5ca8881d58b4343dbd999ad24a31f32366)
![{\displaystyle Q_{i}\psi (x)=\mathrm {i} x_{i}\psi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba94959d86446f414077bfa1e6d8a776b3271e3)
![{\displaystyle C\psi (x)=\mathrm {i} \hbar \psi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/885cb38e7129e0c3c26cee3b928f07014d81f7af)
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]