사영 표현

군 표현론에서, 사영 표현(射影表現, 영어: projective representation)은 어떤 군의 원소들을 어떤 벡터 공간 위의 행렬 또는 선형 변환으로 나타내되, 행렬로서의 교환자가 군의 연산과 단위 행렬의 스칼라배만큼 다른 것을 허용한 것이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

체 $K$
$K$ -벡터 공간 $V$
군 $G$

그렇다면, $G$ 의 $V$ 위의 $K$ -선형 사영 표현은 군 준동형

G\to \operatorname {PGL} (V;K)=\operatorname {GL} (V;K)/K^{\times }

이다. 여기서 $\operatorname {PGL} (V)$ 는 사영 선형군이다.

사영 유니터리 표현

다음이 주어졌다고 하자.

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$
$\mathbb {K}$ -힐베르트 공간 $H$
리 군 $G$

그렇다면, $H$ 의 사영 유니터리 표현(射影unitary表現, 영어: projective unitary representation)은 연속 함수인 군 준동형

G\to \operatorname {PU} (H)=\operatorname {U} (H)/\mathbb {K} ^{\times }

이다. 여기서 $\operatorname {PU} (-)$ 는 사영 유니터리 군을 뜻한다. 사영 유니터리 표현은 사영 표현의 특수한 경우이다.

성질

선형 표현과의 관계

모든 (선형) 표현

G\to \operatorname {GL} (V;K)

이 주어졌을 때, 몫군 사상

q\colon \operatorname {GL} (V;K)\twoheadrightarrow \operatorname {PGL} (V;K)

을 통하여 사영 표현

G\to \operatorname {PGL} (V;K)

을 정의할 수 있다. 즉, 모든 선형 표현은 사영 표현을 유도한다.

반대로, 사영 표현

\rho \colon G\to \operatorname {PGL} (V;K)

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 군을 정의하자.

H=G\times _{\pi ,q}\operatorname {GL} (V;K)=\{(g,T)\in G\times \operatorname {GL} (V;K)\colon \pi (g)=q(T)\}

이는 군의 범주의 다음과 같은 올곱이다.

{\begin{matrix}H&{\overset {\rho _{H}}{\to }}&\operatorname {GL} (V;K)\\{\scriptstyle \phi }\downarrow {\color {White}\scriptstyle \phi }&&{\scriptstyle \color {White}q}\downarrow {\scriptstyle q}\\G&{\underset {\rho }{\to }}&\operatorname {PGL} (V;K)\\\end{matrix}}

이에 따라서, 군 준동형

\rho _{H}\colon H\to \operatorname {GL} (V;K)

\rho _{H}\colon (g,T)\mapsto T

이 존재한다. 또한, 군 준동형

\phi \colon H\to G

\phi \colon (g,T)\mapsto g

은 전사 함수이며, 그 핵인 정규 부분군은

H\geq \operatorname {Z} (H)\geq \ker \phi =\{(1_{G},\alpha 1_{V})\colon \alpha \in K^{\times }\}\cong K^{\times }

이다. 즉, $H$ 는 $G$ 의 중심 확대이며, 군의 범주에서 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

1\to K^{\times }\to H\to G\to 1

사영 유니터리 표현

리 군 $G$ 의 유한 차원 복소수 사영 유니터리 표현은 항상 그 범피복군 ${\tilde {G}}$ 의 유니터리 표현으로 유도된다. 즉, 임의의 연결 리 군 $G$ 의 사영 유니터리 표현

\rho \colon G\to \operatorname {PU} (n)

이 주어졌을 때, 항상 다음 가환 네모를 완성하는 유니터리 표현 ${\tilde {\rho }}\colon {\tilde {G}}\to \operatorname {U} (n)$ 을 찾을 수 있다.

{\begin{matrix}G&{\overset {\rho }{\to }}&\operatorname {PU} (n)\\\uparrow &&\uparrow \\{\tilde {G}}&{\underset {\tilde {\rho }}{\to }}&\operatorname {U} (n)\end{matrix}}

무한 차원 표현의 경우, 이는 일반적으로 성립하지 않는다. 그러나 바르그만 정리(영어: Bargmann’s theorem)에 따르면, 만약 실수 계수 2차 리 대수 코호몰로지 $\operatorname {H} ^{2}({\mathfrak {lie}}(G);\mathbb {R} )$ 가 자명하다면, 무한 차원 사영 유니터리 표현도 역시 범피복군의 유니터리 표현으로부터 유도된다.