아핀 변환

기하학에서 아핀 변환(-變換, 영어: affine transformation)은 아핀 기하학적 성질들을 보존하는 두 아핀 공간 사이의 함수이다.

정의

반아핀 변환

체 $K$ 위의 두 벡터 공간 $V$, $V'$ 및 자기 동형 사상 $\sigma \colon K\to K$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $\sigma$에 대한 반선형 변환(半線型變換, 영어: semilinear transformation)은 다음 조건을 만족시키는 함수 $T\colon V\to V'$이다.

$T(ku+v)=\sigma (k)T(u)+T(v)\qquad \forall u,v\in V,\;k\in K$

체 $K$ 위의 두 아핀 공간 $(A,V(A))$, $(A',V(A'))$ 및 자기 동형 사상 $\sigma \colon K\to K$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 $F\colon A\to A'$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 $\sigma$에 대한 반아핀 변환(半-變換, 영어: semiaffine transformation)이라고 한다.

• 어떤 점 $a\in A$에 대하여, $v\mapsto F(a+v)-F(a)$는 $\sigma$에 대한 반선형 변환 $V(A)\to V(A')$이다.
• 모든 점 $a\in A$에 대하여, $v\mapsto F(a+v)-F(a)$는 $\sigma$에 대한 반선형 변환 $V(A)\to V(A')$이다.

증명:

만약

$T_{a}\colon V(A)\to V(A')$

$T_{a}\colon v\mapsto F(a+v)-F(a)$

가 반선형 변환이라면, 임의의 $b\in A$ 및 $v\in V(A)$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}T_{b}(v)&=F(b+v)-F(b)\\&=(F(b+v)-F(a))-(F(b)-F(a))\\&=T_{a}((b-a)+v)-T_{a}(b-a)\\&=T_{a}(v)\end{aligned}}$

즉, $T_{a}$는 $a\in A$의 선택과 무관하다.

반아핀 변환 $F$로 유도된 반선형 변환

$T(F)\colon V(A)\to V(A')$

$T(F)\colon v\mapsto F(a+v)-F(a)$

는 점 $a\in A$의 선택과 무관하며, 임의의 $a,b\in A$에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

$F(b)=F(a)+T(F)(b-a)$

벡터 표기법을 사용하면 이는 다음과 같다.

${\overrightarrow {F}}({\overrightarrow {ab}})={\overrightarrow {F(a)F(b)}}$

여기서

$T(F)={\overrightarrow {F}}$

$b-a={\overrightarrow {ab}}$

이다.

아핀 변환

선형 변환은 항등 함수 $\sigma =\operatorname {id} _{K}$에 대한 반선형 변환이다.

아핀 변환은 항등 함수 $\sigma =\operatorname {id} _{K}$에 대한 반아핀 변환이다. 즉, $T(F)$가 선형 변환인 반아핀 변환이다.

성질

모든 반아핀 변환은 공선점과 평행 부분 아핀 공간을 보존한다. 모든 아핀 변환은 무게 중심를 보존하며, 특히 중점을 보존한다.

대수적 성질

체 $K$ 위의 아핀 공간 $(A,V(A))$와 벡터 공간 $V'$ 사이의 아핀 변환의 집합 $\operatorname {Hom} _{K}(A,V')$은 자연스럽게 벡터 공간을 이룬다. 체 $K$ 위의 두 아핀 공간 $(A,V(A))$, $(A',V(A'))$ 사이의 아핀 변환의 집합 $\operatorname {Hom} _{K}(A,A')$은 자연스러운 아핀 공간 구조를 가지며, 그 기본 벡터 공간과 차원은 다음과 같다.

$V(\operatorname {Hom} _{K}(A,A'))=\operatorname {Hom} _{K}(A,V(A'))$

$\dim(\operatorname {Hom} _{K}(A,A'))=\dim A'(\dim A+1)$

아핀 군

 이 부분의 본문은 아핀 군입니다.

아핀 변환 $F\colon A\to A'$ 및 $G\colon A'\to A''$에 대하여, 합성 $G\circ F\colon A\to A''$ 역시 아핀 변환이다. 전단사 아핀 변환 $F\colon A\to A'$에 대하여, 역함수 $F^{-1}\colon A'\to A$ 역시 아핀 변환이다. 특히, 아핀 공간 $(A,V(A))$ 위의 전단사 아핀 변환들의 집합은 군을 이루며, 이를 아핀 군 $\operatorname {Aff} (A)$라고 한다. 아핀 군은 평행 이동들의 벡터 공간 $V(A)$와 그 일반 선형군 $\operatorname {GL} (V(A))$의 반직접곱과 동형이다.

$\operatorname {Aff} (A)\cong V(A)\rtimes \operatorname {GL} (V(A))$

만약 $A$가 벡터 공간일 경우 위 동형은 자연스럽다.

유한 차원

아핀 기하학의 기본 정리

아핀 기하학의 기본 정리(-畿何學-基本定理, 영어: fundamental theorem of affine geometry)에 따르면, 체 $K$ 위의 유한 $d\neq 1$차원 아핀 공간 $A$ 위의 전단사 함수 $F\colon A\to A$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 공선점을 보존한다. 즉, 만약 $a,b,c\in A$가 공선점이라면, $F(a),F(b),F(c)\in A$ 역시 공선점이다.
• 반아핀 변환이다.

특히, 실수체 $\mathbb {R}$의 자기 동형 사상은 항등 함수밖에 없으므로, 유한 $d\neq 1$차원 실수 아핀 공간 $A$ 위의 전단사 함수 $F\colon A\to A$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 공선점을 보존한다.
• 아핀 변환이다.

마찬가지로, 복소수체 $\mathbb {C}$의 연속 자기 동형 사상은 항등 함수와 켤레 복소수 $z\mapsto {\bar {z}}$밖에 없으므로 (비(非)연속 자기 동형 사상은 그 밖에도 존재한다), 유한 $d\neq 1$차원 복소수 아핀 공간 $A$ 위의 연속 전단사 함수 $F\colon A\to A$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 공선점을 보존한다.
• 아핀 변환이거나, 켤레 복소수에 대한 반아핀 변환이다.

1차원에서는 모든 함수가 공선점을 보존하므로 일반적으로 아핀 기하학의 기본 정리가 성립하지 않는다.

행렬 표현

체 $K$ 위의 두 유한 $n$, $m$차원 아핀 공간 $(A,V(A))$, $(A',V(A'))$ 사이의 아핀 변환 $F\colon A\to A'$은 아핀 틀 $(o,B)$, $(o',B')$에 대하여 다음과 같은 꼴의 행렬로 표현할 수 있다.

$M_{(o,B),(o',B')}(F)={\begin{pmatrix}1&0_{1\times n}\\a_{m\times 1}&{M_{B,B'}(T(F))}_{m\times n}\end{pmatrix}}$

여기서 $M_{B,B'}(T(F))$는 기저 $B$, $B'$에 대한 $T(F)$의 행렬이다.

특히, 유한 차원 아핀 군 $\operatorname {Aff} (n;K)$는 일반선형군 $\operatorname {GL} (n+1;K)$의 부분군으로 여길 수 있다.

유클리드 공간

유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{d}$ 위의 아핀 변환은 모든 도형의 초부피를 일정한 비율로 변화시키며, 이 비율은 유도된 선형 변환의 행렬식의 절댓값과 같다. 다시 말해, $\mathbb {R} ^{d}$ 위의 르베그 측도를 $\mu$라고 할 때, 임의의 가측 집합 $S\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 및 아핀 변환 $F\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\mu (F(S))=|{\det T(F)}|\mu (S)$

예

아핀 공간 위의 다음과 같은 함수들은 아핀 변환이다.

• 상수 함수
• 평행 이동
• 중심 닮음 변환
• 주어진 부분 아핀 공간에 대한, 주어진 여공간을 따른 반사
• 주어진 부분 아핀 공간에 대한, 주어진 여공간을 따른 사영

모든 반선형 변환은 반아핀 변환이다. 모든 선형 변환은 아핀 변환이다.

유클리드 공간 위의 다음과 같은 함수들은 아핀 변환이다.

• 등거리 변환
• 닮음 변환

1차원 복소수 벡터 공간 $\mathbb {C}$ 위의 켤레 복소수 함수

$\mathbb {C} \to \mathbb {C}$

$z\mapsto {\bar {z}}$

는 반선형 변환이며, 특히 반아핀 변환이다.

외부 링크

• “Affine transformation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Affine transformation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.