아핀 변환

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아핀 기하학에서, 아핀 변환(-變換, 영어: affine transformation)은 공선점을 공선점으로 보내는 두 아핀 공간 사이의 함수이다.

정의[편집]

위의 두 아핀 공간 , 사이의 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아핀 변환이라고 한다.

  • , 선형 변환이 되는 가 존재한다. (여기서 평행 이동벡터 공간이다.)
  • 임의의 에 대하여, , 는 선형 변환이다.

아핀 변환 로부터 유도되는 위와 같은 선형 변환 의 선택과 무관하며, 임의의 에 대하여,

가 성립한다. 이는 로 표기할 경우 다음과 같이 쓸 수 있다.

성질[편집]

기하학적 성질[편집]

전단사 아핀 변환은 다음과 같은 성질들을 보존한다.

그러나 전단사 아핀 변환은 일반적으로 각도나 직선의 방향, 두 점 사이의 거리를 보존하지 않는다. 또한 초부피를 보존하지 않지만, 주어진 전단사 아핀 변환이 초부피를 변화시키는 비율은 일정하며, 이는 선형 변환 성분의 행렬식의 절댓값과 같다.

대수적 성질[편집]

위의 아핀 공간 , 사이의 아핀 변환의 집합 은 새로운 아핀 공간을 이룬다. 이에 대한 평행 이동의 벡터 공간은

이며, 차원은

이다.

아핀 변환 에 대하여, 합성 역시 아핀 변환이다. 전단사 아핀 변환 에 대하여, 역함수 역시 아핀 변환이다. 특히, 아핀 공간 위의 전단사 아핀 변환은 을 이루며, 이를 아핀 군 라고 한다. 주어진 점 에 대하여, 아핀 군 평행 이동의 군과 를 고정점으로 하는 전단사 아핀 변환의 군의 반직접곱이다. 후자는 일반 선형군 동형이므로, 다음이 성립한다.

[편집]

다음과 같은 함수들은 모두 아핀 변환이다.

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]