아핀 변환

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아핀기하학에서 아핀 변환(-變換, 영어: affine transformation)은 두 아핀 공간 사이의 공선점을 보존하는 변환이다. 아핀 변환 f:A\to B는 그에 맞는 두 벡터 공간 (아핀 공간의 두 점을 잇는 벡터가 이루는 공간) 사이의 변환

\phi:V_A\to V_B,\ \overrightarrow{PQ}\mapsto\overrightarrow{f(P)f(Q)}

에 대응하는데, 이는 선형성을 만족한다. 원점기저 벡터가 (임의로) 주어질 때(아핀 좌표계), 각 점들은 유일한 좌표를 부여받는다. 이 때 \phi선형 변환평행 이동 변환의 합성으로 표현할 수 있다. 즉,

\phi(x) = Ax + b

여기에서 A는 선형 변환에 대응하는 행렬, b는 벡터이다.

실례[편집]

보존[편집]

  • 아핀 변환은 직선을 직선으로 대응시킨다, 즉 직선을 보존한다. 또한 직선 위 세 점의 상대적 위치를 보존한다. 예를 들어 선분과 그의 중점은 변환 후 여전히 선분과 중점이다.
  • 평행선을 보존한다. 가역 아핀 변환은 교차하는 선, 평행하지도 교차하지도 않는 선을 보존한다.
  • 아핀 변환은 일반적으로 각도, 직선의 방향, 두 점 사이의 거리를 보존하지 않는다.
  • 아핀 변환은 일반적으로 면적을 보존하지 않는다. 그러나 면적이 변화하는 배수는 일정하다.

가역성[편집]

아핀 변환 \phi(x)= Ax + b역변환이 존재할 필요충분조건은 행렬 A가역행렬이라는 것이다. 가역 아핀 변환의 역변환은 여전히 아핀 변환이다.

가역 아핀 변환은 합성에 대한 아핀 군을 이룬다.

등거리 변환[편집]

등거리 변환은 모두 아핀 변환이다. 아핀 변환 \phi(x)= Ax + b가 등거리 변환일 한 가지 필요충분조건은 A직교행렬이라는 것이다.