중심 닮음 변환

아핀 기하학에서 중심 닮음 변환(中心-變換, 영어: homothety 호모세티^[*])은 주어진 점에 대한 방향을 보존하거나 반전시키되 이 점과의 거리를 일정한 비율로 확대 또는 축소시키는 함수이다. 이는 유클리드 공간 위에서만 유효한 정의이나, 임의의 아핀 공간 위에까지 확장될 수 있다. 주어진 아핀 공간 위의 중심 닮음 변환과 평행 이동은 함수의 합성에 대하여 군을 이룬다. 이는 모든 직선을 이에 평행하는 직선으로 대응시키는 전단사 함수들의 군과 같다.

정의

체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$와 점 $a_{0}\in A$ 및 0이 아닌 상수 $\lambda \in K\setminus \{0\}$이 주어졌다고 하자. $a_{0}$을 중심으로 하고 $\lambda$를 비로 하는 $A$의 중심 닮음 변환은 다음과 같다.

$H_{a_{0},\lambda }\colon A\to A$

$H_{a_{0},\lambda }\colon a\mapsto a_{0}+\lambda (a-a_{0})\qquad (a\in A)$

특히, $\lambda =1$일 경우 이는 항등 함수이며, $\lambda =-1$일 경우 이는 중심점에 대한 반사와 같다.

확대 변환

체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$ 위 함수 $D\colon A\to A$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $D$를 확대 변환(擴大變換, 영어: dilatation)이라고 한다.

• 다음 두 조건을 만족시킨다.
  • $D$는 아핀 변환이다.
  • $D$의 선형 변환 성분은 일반 선형군 $\operatorname {GL} (V(A))$의 중심 $K\setminus \{0\}\subseteq \operatorname {GL} (V(A))$의 원소이다. (여기서 $V(A)$는 $A$의 평행 이동들로 구성된 벡터 공간이다.)
• $D$는 중심 닮음 변환이거나 평행 이동이다. (사실, 평행 이동은 무한원점을 중심으로 하는 중심 닮음 변환으로 생각할 수 있다.)

증명:

만약 $D$가 중심 닮음 변환이라면, 중심을 $a_{0}\in A$라고 하고, 비를 $\lambda \in K\setminus \{0\}$이라고 하자. 그렇다면 임의의 $a\in A$에 대하여

$D(a)-D(a_{0})=(a_{0}+\lambda (a-a_{0}))-a_{0}=\lambda (a-a_{0})$

이다. 즉, $D$는 $\lambda$를 선형 변환 성분으로 하는 아핀 변환이다.

만약 $D\in V(A)$가 평행 이동이라면, 평행 이동 벡터를 $v\in V(A)$라고 하자. 그렇다면 임의의 $a,b\in A$에 대하여,

$D(b)-D(a)=(b+v)-(a+v)=b-a$

이다. 즉, $D$는 항등 함수 $1\in K\setminus \{0\}$을 선형 변환 성분으로 하는 아핀 변환이다.

만약 $D$가 $K\setminus \{0\}$의 원소 $\lambda \in K\setminus \{0\}$을 선형 변환 성분으로 하는 아핀 변환이라면, 임의의 $a\in A$를 취하자. 만약 $\lambda =1$이라면, 임의의 $b\in A$에 대하여

$D(b)=D(a)+(b-a)=b+(D(a)-a)$

이므로, $D$는 $D(a)-a$를 평행 이동 벡터로 하는 평행 이동이다. 만약 $\lambda \neq 1$이라면, 아핀 결합

$a_{0}={\frac {D(a)-\lambda a}{1-\lambda }}$

는 $D$의 고정점이다. 따라서 임의의 $b\in A$에 대하여,

$D(b)=D(a_{0})+\lambda (b-a_{0})=a_{0}+\lambda (b-a_{0})$

이므로, 이는 $a_{0}$을 중심으로 하고 $\lambda$를 비로 하는 중심 닮음 변환이다.

성질

대수적 성질

아핀 공간 $A$ 위의 확대 변환들은 아핀 군 $\operatorname {Aff} (A)$의 정규 부분군 $\operatorname {Dil} (A)$를 이룬다. 특히, 모든 중심 닮음 변환은 전단사 아핀 변환이다.

기하학적 성질

체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$ 위 함수 $D\colon A\to A$가 주어졌고, $\dim A\neq 1$이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $D$는 확대 변환이다.
• 다음 두 조건을 만족시킨다.
  • $D$는 전단사 함수이다.
  • 임의의 아핀 직선 $L\subseteq A$에 대하여, $D(L)$은 $L$에 평행하는 아핀 직선이다.

증명:

편의상 $\dim A\geq 2$라고 하자.

만약 $D$가 확대 변환이라면, 우선 $D$가 아핀 변환이므로, 임의의 아핀 직선 $L\subseteq A$에 대하여, $D(L)$ 역시 아핀 직선이다. $D$의 선형 변환 성분을 $\lambda$라고 하고, 임의의 $a,b\in L$를 취하자. 그렇다면

$D(b)-D(a)=\lambda (b-a)$

이다. 따라서, $D(L)$은 $L$에 평행한다.

만약 $D$가 임의의 아핀 직선의 상이 이와 평행하는 아핀 직선인 전단사 함수라면, 임의의 아핀 직선 $L\subseteq A$를 취하고, $L$이 $\{a,b\}$로 생성된다고 하자. 그렇다면 $D(L)$은 $L$에 평행하는 아핀 직선이며, $\{D(a),D(b)\}$로 생성된다. 또한, 다음을 만족시키는 유일한 확대 변환 $D'\in \operatorname {Dil} (A)$가 존재한다.

$D'(a)=D(a)$

$D'(b)=D(b)$

임의의 $c\in A\setminus L$에 대하여, $D$에 대한 가정에 의하여, $\{D(a),D(c)\}$, $\{D(b),D(c)\}$로 생성된 아핀 직선은 각각 $\{a,c\}$, $\{b,c\}$로 생성된 아핀 직선에 평행한다. $D'$은 확대 변환이므로, $D'(c)$는 $\{D(a),D(c)\}$, $\{D(b),D(c)\}$로 생성된 아핀 직선의 교점이다. 즉, $D'(c)=D(c)$이다. $\dim A\geq 2$이므로 $L$과 평행하는 $L$이 아닌 아핀 직선 $L'\subseteq A\setminus L$가 존재하며, 이를 $L$ 대신 사용하면 임의의 $c\in A\setminus L'$에 대하여 $D'(c)=D(c)$라는 사실을 얻는다. 따라서 $D=D'$이며, $D$는 확대 변환이다.

중심 닮음 변환에 대한 상 $H_{a_{0},\lambda }(a)$는 중심 $a_{0}$과 원래 점 $a$를 잇는 직선 위의 점이다. 유클리드 공간의 중심 닮음 변환에 대한 상과 이에 대한 원상은 양의 실수를 비로 할 경우 중심에 대하여 같은 쪽이며, 음의 실수를 비로 할 경우 중심에 대하여 반대쪽이다. 유클리드 공간의 $\lambda$를 비로 하는 중심 닮음 변환은 모든 두 점 사이의 거리를 $|\lambda |$의 비율로 확대·축소시킨다. 즉, 이는 $|\lambda |$를 비로 하는 닮음 변환이다.

예

3차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{3}$의 원점 $(0,0,0)$을 중심으로 하고 2를 닮음비로 하는 중심 닮음 변환은 다음과 같다.

$H_{(0,0,0),2}\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$

$H_{(0,0,0),2}\colon (x,y,z)\mapsto (2x,2y,2z)\qquad (x,y,z\in \mathbb {R} )$

참고 문헌

• Berger, Marcel (1987). 《Geometry I》. Universitext (영어). 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-93815-6. ISBN 978-3-540-11658-5. ISSN 0172-5939. 
• Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (영어). New York, N. Y.: Dover Publications. 

외부 링크

• “Homothety”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Dilation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Homothetic”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Homothetic center”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Internal similitude center”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “External similitude center”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.