기하학 에서 무게 중심 (-中心, 영어 : centroid, barycenter )은 주어진 도형 속 모든 점의 산술 평균 이 되는 점이다. 이는 도형을 밀도가 균일한 물체로 보았을 때 물리학 에서의 무게 중심 과 일치한다.[1] :61, Remark 2.7.5.3
유한 개의 점의 무게 중심 [ 편집 ]
체
F
{\displaystyle F}
위의 아핀 공간
A
{\displaystyle A}
가 주어졌고, 양의 정수
n
{\displaystyle n}
이
F
{\displaystyle F}
의 표수 의 배수 가 아니라고 하자. (예를 들어
A
{\displaystyle A}
가 유클리드 공간 이며
n
{\displaystyle n}
은 임의의 양의 정수라고 가정할 수 있다.) 그렇다면
n
{\displaystyle n}
개의 점
a
1
,
…
,
a
n
∈
A
{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}
의 무게 중심 은 다음을 만족시키는 유일한 점
g
∈
A
{\displaystyle g\in A}
로 정의된다.
1
n
∑
k
=
1
n
g
a
k
→
=
0
→
{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\overrightarrow {ga_{k}}}={\vec {0}}}
즉, 임의의
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
에 대하여, 다음이 성립한다.
g
=
a
+
1
n
∑
k
=
1
n
a
a
k
→
{\displaystyle g=a+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\overrightarrow {aa_{k}}}}
특히,
A
{\displaystyle A}
가 벡터 공간 일 경우 다음이 성립한다.[1] :75-77, Examples 3.4.2
g
=
1
n
∑
k
=
1
n
a
k
{\displaystyle g={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}}
유한 개의 질점의 무게 중심 [ 편집 ]
보다 일반적으로, 체
F
{\displaystyle F}
위의 아핀 공간
A
{\displaystyle A}
및 양의 정수
n
{\displaystyle n}
이 주어졌고,
n
{\displaystyle n}
개의 점
a
1
,
…
,
a
n
∈
A
{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}
의 질량
w
1
,
…
,
w
n
∈
F
{\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n}\in F}
의 합이
F
{\displaystyle F}
의 표수의 배수가 아니라고 하자. (예를 들어
A
{\displaystyle A}
가 유클리드 공간일 경우 질량의 합이 0이 아니라고 하자.) 그렇다면 질점
(
a
1
,
w
1
)
,
…
,
(
a
n
,
w
n
)
{\displaystyle (a_{1},w_{1}),\dots ,(a_{n},w_{n})}
의 무게 중심 은 다음을 만족시키는 유일한 점
g
∈
A
{\displaystyle g\in A}
이다.[2] :26, §I.4, Proposition 4.1
∑
k
=
1
n
w
k
g
a
k
→
=
0
→
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}w_{k}{\overrightarrow {ga_{k}}}={\vec {0}}}
즉, 임의의
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
에 대하여, 다음이 성립한다.[2] :26, §I.4, Proposition 4.1
g
=
a
+
∑
k
=
1
n
w
k
a
a
k
→
∑
k
=
1
n
w
k
{\displaystyle g=a+{\frac {\sum _{k=1}^{n}w_{k}{\overrightarrow {aa_{k}}}}{\sum _{k=1}^{n}w_{k}}}}
특히,
A
{\displaystyle A}
가 벡터 공간일 경우 다음이 성립한다.
g
=
∑
k
=
1
n
w
k
a
k
∑
k
=
1
n
w
k
{\displaystyle g={\frac {\sum _{k=1}^{n}w_{k}a_{k}}{\sum _{k=1}^{n}w_{k}}}}
유한 개의 점의 무게 중심은
w
1
=
⋯
=
w
n
{\displaystyle w_{1}=\cdots =w_{n}}
인 특수한 경우이다. 이를 질점들의 무게 중심과 구별하기 위해 등무게 중심 (等-中心, 영어 : equibarycenter )이라고 부르기도 한다.
영역의 무게 중심 [ 편집 ]
유클리드 공간
R
d
{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
의 콤팩트 부분 집합
K
⊆
R
d
{\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} ^{d}}
가
int
K
≠
∅
{\displaystyle \operatorname {int} K\neq \varnothing }
을 만족시킨다고 하자. 그렇다면
K
{\displaystyle K}
는 르베그 가측 집합 이며,
0
<
μ
(
K
)
<
∞
{\displaystyle 0<\mu (K)<\infty }
가 성립한다. 여기서
μ
{\displaystyle \mu }
는
R
d
{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
위의 르베그 측도 이다. 이 경우
K
{\displaystyle K}
의 무게 중심 은 다음과 같이 정의된다.[1] :60, Proposition 2.7.5.1
g
=
1
μ
(
K
)
∫
K
x
d
μ
{\displaystyle g={\frac {1}{\mu (K)}}\int _{K}x\mathrm {d} \mu }
보다 일반적으로, 밀도 함수
w
:
K
→
R
{\displaystyle w\colon K\to \mathbb {R} }
(
∫
K
w
(
x
)
d
μ
≠
0
{\displaystyle \textstyle \int _{K}w(x)\mathrm {d} \mu \neq 0}
)가 부여되었을 때의 무게 중심 은 다음과 같다.
g
=
∫
K
w
(
x
)
x
d
μ
∫
K
w
(
x
)
d
μ
{\displaystyle g={\frac {\int _{K}w(x)x\mathrm {d} \mu }{\int _{K}w(x)\mathrm {d} \mu }}}
영역의 무게 중심은
w
{\displaystyle w}
가 상수 함수 인 특수한 경우이다.
결합 법칙 [ 편집 ]
질점
(
a
1
,
w
1
)
,
…
,
(
a
n
,
w
n
)
∈
A
×
K
{\displaystyle (a_{1},w_{1}),\dots ,(a_{n},w_{n})\in A\times K}
의 무게 중심은
(
a
1
,
w
1
)
,
…
,
(
a
k
,
w
k
)
{\displaystyle (a_{1},w_{1}),\dots ,(a_{k},w_{k})}
의 무게 중심과
(
a
k
+
1
,
w
k
+
1
)
,
…
,
(
a
n
,
w
n
)
{\displaystyle (a_{k+1},w_{k+1}),\dots ,(a_{n},w_{n})}
의 무게 중심의 질량
∑
j
=
1
k
w
j
{\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{k}w_{j}}
및
∑
j
=
k
+
1
n
w
j
{\displaystyle \textstyle \sum _{j=k+1}^{n}w_{j}}
에 대한 무게 중심과 같다.[2] :27, Proposition 4.2 물론 이는 유한 번 반복할 수 있다. 특히, 체
K
{\displaystyle K}
의 표수가 2나 3이 아닐 경우, 유한 개의 점의 무게 중심은 선분 과 삼각형 의 무게 중심으로 귀결된다.
아핀기하학적 성질 [ 편집 ]
아핀 공간의 한 점을 원점으로 삼아 벡터 공간으로 만들었을 때, 질점의 무게 중심은 계수의 합이 1인 선형 결합 이므로, 아핀기하학의 몇몇 개념은 무게 중심을 통해 서술할 수 있다.
아핀 공간
A
{\displaystyle A}
의 부분 집합
B
⊆
A
{\displaystyle B\subseteq A}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1] :79, Proposition 3.5.1
아핀 공간
A
{\displaystyle A}
의 부분 집합
B
⊆
A
{\displaystyle B\subseteq A}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2] :29, §I.5, Proposition 5.6
음이 아닌 질량의 질점의 무게 중심에 대하여 닫혀있다.
볼록 집합 이다.
아핀 공간
A
{\displaystyle A}
와
B
{\displaystyle B}
사이의 함수
T
:
A
→
B
{\displaystyle T\colon A\to B}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1] :79, Proposition 3.5.2
질점의 무게 중심을 보존한다. 즉, 만약
g
{\displaystyle g}
가
(
a
k
,
w
k
)
{\displaystyle (a_{k},w_{k})}
(
1
≤
k
≤
n
{\displaystyle 1\leq k\leq n}
)의 무게 중심이라면,
T
(
g
)
{\displaystyle T(g)}
는
(
T
(
a
k
)
,
w
k
)
{\displaystyle (T(a_{k}),w_{k})}
(
1
≤
k
≤
n
{\displaystyle 1\leq k\leq n}
)의 무게 중심이다.
아핀 변환 이다.
체의 표수가 2가 아닐 경우, 선분
A
B
{\displaystyle AB}
의 두 끝점의 무게 중심
M
{\displaystyle M}
을 선분
A
B
{\displaystyle AB}
의 중점 이라고 한다.[1] :75-77, Examples 3.4.2 이 경우
M
A
=
M
B
{\displaystyle MA=MB}
가 성립한다.
3차원 유클리드 공간
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
속 선분의 두 끝점이 각각
(
x
k
,
y
k
,
z
k
)
{\displaystyle (x_{k},y_{k},z_{k})}
(
k
=
1
,
2
{\displaystyle k=1,2}
)이라고 할 때, 중점은
(
x
1
+
x
2
2
,
y
1
+
y
2
2
,
z
1
+
z
2
2
)
{\displaystyle \left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}},{\frac {z_{1}+z_{2}}{2}}\right)}
이다.
삼각형 [ 편집 ]
체의 표수가 3이 아닐 경우 삼각형 의 세 꼭짓점의 무게 중심을 정의할 수 있다. 체의 표수가 2나 3이 아닐 경우, 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
의 세 꼭짓점의 무게 중심
G
{\displaystyle G}
는 세 중선
A
D
,
B
E
,
C
F
{\displaystyle AD,BE,CF}
의 교점이며, 각 중선의 중점에 더 가까운 삼등분점이다. 즉,
A
G
/
G
D
=
B
G
/
G
E
=
C
G
/
G
F
=
2
{\displaystyle AG/GD=BG/GE=CG/GF=2}
가 성립한다.[3] :56, §2B, Theorem 2.7
정삼각형 이 아닌 삼각형의 무게 중심은 외심 , 구점원 의 중심, 수심 과 함께 오일러 직선 위의 점이다. 정삼각형의 무게 중심은 내심, 외심, 구점원의 중심, 수심과 일치한다.
유클리드 공간 속 삼각형의 세 꼭짓점의 무게 중심은 세 꼭짓점의 볼록 폐포 의 무게 중심과 일치한다. 특히,
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
속 삼각형의 무게 중심은 역학 에서의 무게 중심 과 일치한다.[3] :57-58 즉, 뾰족한 물체이 꼭지 위에 밀도가 균일한 삼각형판을 세우되 꼭지 위에 무게 중심이 오게 하면, 삼각형판은 기울어지지 않고 평형을 유지한다. 그러나 삼각형의 경계 의 무게 중심은 삼각형의 슈피커 중심 이며, 이는 일반적으로 삼각형의 무게 중심과 일치하지 않는다.[3] :58-59
3차원 유클리드 공간
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
속 삼각형의 세 꼭짓점이 각각
(
x
k
,
y
k
,
z
k
)
{\displaystyle (x_{k},y_{k},z_{k})}
(
k
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle k=1,2,3}
)이라고 할 때, 세 꼭짓점의 무게 중심은
(
x
1
+
x
2
+
x
3
3
,
y
1
+
y
2
+
y
3
3
,
z
1
+
z
2
+
z
3
3
)
{\displaystyle \left({\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}},{\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}},{\frac {z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}}\right)}
이다.
사각형 [ 편집 ]
사각형
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
의 네 꼭짓점
A
,
B
,
C
,
D
{\displaystyle A,B,C,D}
의 무게 중심은 각 쌍의 대변의 중점을 잇는 2개의 선분과 두 대각선의 중점을 잇는 1개의 선분의 중점이자, 한 꼭짓점과 남은 세 꼭짓점의 무게 중심을 잇는 3개의 선분의 사등분점이다. 볼록 사각형의 네 꼭짓점의 무게 중심과 네 꼭짓점의 볼록 폐포의 무게 중심은 일반적으로 일치하지 않는다.[1] :75-77, Examples 3.4.2
다포체 [ 편집 ]
볼록 다포체 의 모든 꼭짓점의 무게 중심과 모든 꼭짓점의 볼록 폐포 의 무게 중심은 일반적으로 일치하지 않는다.
같이 보기 [ 편집 ]
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