오일러 직선

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오일러선 (붉은색)은 무게중심 (주황색), 수심 (푸른색), 외심 (초록색)과 구점원의 중심 (붉은색)을 한 직선으로 이어준다.

기하학에서, 오일러 직선(Euler直線, 영어: Euler line)은 정삼각형이 아닌 삼각형외심, 무게 중심, 구점원의 중심, 수심을 지나는 직선이다. 정삼각형에서는 이 네 중심이 일치하기 때문에 오일러 직선이 정의되지 않는다.

정의[편집]

삼각형 외심 , 무게 중심 , 구점원의 중심 , 수심 공선점을 이룬다. 특히 삼각형 정삼각형이 아닐 경우 이들을 모두 지나는 직선은 유일하게 존재한다. 이 직선을 삼각형 오일러 직선이라고 한다. 삼각형 가 정삼각형일 경우 이 네 점은 모두 일치하하므로, 이들을 모두 지나는 직선은 무한히 많으며, 이 경우 오일러 직선은 정의되지 않는다.

나겔 직선[편집]

삼각형 내심 , 무게 중심 , 슈피커 중심 , 나겔 점 은 공선점을 이룬다. 특히 삼각형 가 정삼각형이 아닐 경우 이들을 모두 지나는 직선은 유일하게 존재한다. 이 직선을 삼각형 나겔 직선(Nagel直線, 영어: Nagel line)이라고 한다. 삼각형 가 정삼각형일 경우 이 네 점은 모두 일치하므로, 이들을 모두 지나는 직선은 무한히 많으며, 이 경우 나겔 직선은 정의되지 않는다.

성질[편집]

오일러 직선 위의 점[편집]

정삼각형이 아닌 삼각형 의 다음과 같은 점들은 오일러 직선 위의 점이다.

  • 외심 : 외접원의 중심이자, 각 변의 수직 이등분선의 교점
  • 무게 중심 : 세 중선의 교점
  • 구점원의 중심 : 각 변의 중점, 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 발, 각 꼭짓점과 수심 사이의 선분의 중점을 지나는 원의 중심
  • 수심 : 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 교점

오일러 직선 위의 점 사이의 위치 관계[편집]

(정삼각형일 수 있는) 삼각형의 무게 중심은 외심과 수심을 잇는 선분의 (외심에 더 가까운) 삼등분점이며, 구점원의 중심은 이 선분의 중점이다. 즉, 삼각형 의 외심, 무게 중심, 구점원의 중심, 수심을 각각 , , , 라고 할 경우

이다.[1]:7, §1.3

나겔 직선 위의 점[편집]

정삼각형이 아닌 삼각형 의 다음과 같은 점들은 나겔 직선 위의 점이다.

나겔 직선 위의 점 사이의 위치 관계[편집]

(정삼각형일 수 있는) 삼각형의 무게 중심은 내심과 나겔 점을 잇는 선분의 (내심에 더 가까운) 삼등분점이며, 슈피커 중심은 이 선분의 중점이다. 즉, 삼각형 의 내심, 무게 중심, 슈피커 중심, 나겔 점을 각각 , , , 이라고 할 경우

이다.[1]:7, §1.4

각주[편집]

  1. Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어). Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5. 

외부 링크[편집]