내접원

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삼각형의 내접원을 작도하려면, 세 내각의 이등분선이 만나는 내심을 구한다.

어떤 다각형의 모든 변에 접하는 원을 그 다각형의 내접원(內接圓)이라 한다. 그리고 어떤 다각형의 내접원의 중심을 그 다각형의 내심(內心)이라 한다.

어떤 다각형은 내접원이 존재하지 않으나 삼각형이나 정다각형의 내접원은 항상 존재한다. 어떤 정다각형의 내심은 그 정다각형의 대각선의 교점이다.

삼각형의 내접원[편집]

어떤 삼각형의 내접원은 그 삼각형 내부의 원 중 가장 넓은 원이고 어떤 삼각형의 내심은 그 삼각형의 내각의 이등분선의 교점이다.

그리고 어떤 삼각형의 내접원의 반지름은 그 삼각형의 내심과 그 삼각형의 내심에서 그 삼각형의 변에 내린 수선의 발을 양끝으로 하는 선분의 길이이다.

어떤 정삼각형의 내심은 그 정삼각형의 외심 또는 무게중심과 일치한다.

삼각형의 넓이[편집]

내접원의 반지름의 길이가 r이고 세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형의 넓이는 이다.

내접원의 반지름[편집]

세 변의 길이가 a, b, c이고 넓이가 A인 삼각형의 내접원의 반지름의 길이는 이다. 그리고 이와 헤론의 공식을 이용하면 세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형의 넓이는 임을 알 수 있다.

성질[편집]

멘션 정리[편집]

삼각형 ABC의 외접원에서 호 BC의 중점 M과 내심 I에 대해 이 성립한다. 또한 삼각형 ABC의 방접원의 중심을 O라 하면 MI=MB=MC=MO이 성립한다.

오일러의 정리[편집]

외접원과 내접원의 반지름 R,r에 대해 내심과 외심 사이 거리는 이다.

오일러의 부등식[편집]

외접원과 내접원의 반지름 R,r에 대해 R은 2r보다 같거나 크다.

기타 성질[편집]

  • 내심은 삼각형의 세 각의 이등분선의 교점이다.
  • 내심은 세 방심을 이은 삼각형의 수심이다.
  • 내접원은 구점원과 접한다.