수직 이등분선

기하학에서 수직 이등분선(垂直二等分線, 영어: perpendicular bisector)은 주어진 선분을 길이가 같은 두 선분으로 이등분하고 이 선분에 수직인 직선이다.

정의

평면 위에서 선분 $AB$의 수직 이등분선은 선분 $AB$의 중점을 지나는 선분 $AB$의 수선이다.

성질

평면 위에서 선분 $AB$의 수직 이등분선은 두 끝점 $A,B$와의 거리가 같은 점들의 자취이다. 즉, 평면 위의 점 $P$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $P$는 선분 $AB$의 수직 이등분선 위의 점이다.
• $PA=PB$

평면 위에서 $AB=AC$를 만족시키는 이등변 삼각형 $\triangle ABC$의 밑변 $BC$의 수직 이등분선은 삼각형 $\triangle ABC$의 점 $A$를 지나는 중선이자 각 $\angle A$의 이등분선이다.

원의 현의 수직 이등분선

평면 위에서 원의 현의 수직 이등분선은 원의 중심을 지난다.

평면 위에서 삼각형의 세 변의 수직 이등분선은 공점선이다. 삼각형의 세 수직 이등분선의 교점은 삼각형의 외접원의 중심이며, 이를 삼각형의 외심이라고 한다.^{:50, §2A, Theorem 2.1}

작도

선분 $AB$의 수직 이등분선은 다음과 같이 작도된다.

• 중심이 $A$이고 반지름이 선분 $AB$의 길이인 원 $\Gamma$를 작도한다.
• 중심이 $B$이고 반지름이 선분 $AB$의 길이인 원 $\Gamma '$을 작도한다.
• 두 원 $\Gamma ,\Gamma '$의 두 교점을 $P,Q$라고 할 때, 직선 $PQ$는 선분 $AB$의 수직 이등분선이다.

일반화

수직 이등분면

공간 속에서 선분 $AB$의 수직 이등분면(垂直二等分面, 영어: perpendicular bisecting plane)은 선분 $AB$의 중점을 지나고 선분 $AB$에 수직인 평면이다. 이는 두 끝점 $A,B$와의 거리가 같은 공간 속 점의 자취이다.

수직 이등분 초평면

양의 정수 $d$가 주어졌다고 하자. $d$차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{d}$ 속에서, 선분 $AB$의 수직 이등분 초평면(垂直二等分超平面, 영어: perpendicular bisecting hyperplane)은 선분 $AB$의 중점을 지나고 선분 $AB$와 직교하는 $(d-1)$차원 부분 아핀 공간이다. 이는 $d=2$일 경우 수직 이등분선이고 $d=3$일 경우 수직 이등분면이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Perpendicular bisector”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Perpendicular bisector theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.