모노이드 대상

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범주론에서, 모노이드 대상(monoid對象, 영어: monoid object)은 모노이드 범주에서 모노이드와 같은 성질을 가진 대상이다.

정의[편집]

모노이드 대상[편집]

모노이드 대상은 모노이드 범주 속에서 모노이드의 역할을 하는 대상이다.

(\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)모노이드 범주라고 하자. \mathcal C모노이드 대상 (M,m,e)는 다음 데이터로 이루어진다.

이는 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.

  • (결합 법칙) m\circ(m\otimes\operatorname{id}_M)=m\circ(\operatorname{id}_M\otimes m)\circ\alpha_{M,M,M}. (여기서 (M\otimes M)\otimes M=M\otimes(M\otimes M)로 간주한다.) 즉, 다음 그림은 가환 그림을 이룬다.
\begin{matrix}
(M\otimes M)\otimes M&\xrightarrow\alpha&M\otimes(M\otimes M)\\
{\scriptstyle m}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle m\\
M\otimes M&&M\otimes M\\
{\scriptstyle m}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle m\\
M&=&M
\end{matrix}
  • (항등원의 존재) m\circ(e\otimes\operatorname{id}_M)=\lambda_M이고, m\circ(\operatorname{id}_M\otimes e)=\rho_M이다. 즉, 다음 그림은 가환 그림을 이룬다.
\begin{matrix}
I\otimes M&\xrightarrow e&M\otimes M&\xleftarrow e&M\otimes I\\
&{\scriptstyle\lambda}\searrow&\downarrow\scriptstyle m&\swarrow\scriptstyle\rho\\
&&M
\end{matrix}

군 대상[편집]

군 대상(群對象, 영어: group object)은 을 갖는 범주에서 정의되는, 의 역할을 하는 대상이다. (임의의 모노이드 범주에서 정의되는 모노이드 대상과 달리, 군 대상은 데카르트 모노이드 범주에서만 정의된다. 이는 일반적 모노이드 범주에서 대각 사상 X\to X\otimes X이나 쌍대항등원 X\to I이 주어지지 않기 때문이다.)

\mathcal C끝 대상 및 유한 을 갖는 범주라고 하자. \mathcal C군 대상 (G,m,e,i)는 다음 데이터로 이루어진다.

이는 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.

  • (역원의 존재) 끝 대상의 정의에 따라 유일한 사상 \epsilon_G\colon G\to1이 존재한다. 또한, \operatorname{diag}_G\colon G\to G\times G대각 사상이라고 하자. 그렇다면 m\circ(\operatorname{id}_G\times i)\circ\operatorname{diag}_G=m\circ(i\times\operatorname{id}_G)\circ\operatorname{diag}_G=e\circ\epsilon_G이다. 즉, 다음 그림이 가환한다.
\begin{matrix}
G&\xrightarrow{\operatorname{diag}}&G\times G&\xrightarrow{\operatorname{id}\times i}&G\times G&\xleftarrow{i\times\operatorname{id}}&G\times G&\xleftarrow{\operatorname{diag}}&G\\
&\searrow&&&\downarrow\scriptstyle m&&&\swarrow\\
&&1&\xrightarrow[e]{}&G&\xleftarrow[e]{}&1
\end{matrix}

위와 같은 정의 대신, 군 대상을 다음과 같이 정의할 수 있다. 군 대상 G\in\operatorname{ob}(\mathcal C)는 임의의 대상 X\in\operatorname{ob}(\mathcal C)에 대하여 \hom(X,G)을 이뤄, X\mapsto\hom(X,G)\mathcal C\to\operatorname{Grp}^{\operatorname{op}} 함자를 이루는 대상이다. 여기서 \operatorname{Grp}군 준동형범주이다.

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모노이드 대상[편집]

집합함수데카르트 모노이드 범주 속의 모노이드 대상은 모노이드와 같다.

범주 \mathcal C 위의 자기 함자 범주 \operatorname{End}\mathcal C 속의 모노이드 대상은 모나드라고 한다. 아벨 군의 범주 \operatorname{Ab}는 텐서곱과 함께 모노이드 범주를 이루며, 이 모노이드 범주 속의 모노이드 대상은 의 개념과 같다.

군 대상[편집]

대표적인 범주들 속의 군 대상은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

범주 군 대상 비고
집합함수의 범주
위상 공간연속 함수의 범주 위상군
매끄러운 다양체매끄러운 함수의 범주 리 군
대수다양체와 대수다양체 사상의 범주 대수군
스킴과 스킴 사상의 범주 군 스킴(group scheme)
군 준동형의 범주 아벨 군 역원 사상 g\mapsto g^{-1}이 준동형을 이루는 군은 아벨 군이기 때문
모노이드와 모노이드 준동형의 범주 아벨 군
아벨 군군 준동형의 범주 아벨 군
작은 범주의 범주 \operatorname{Cat} 교차 가군(영어: crossed module)[1]:285–287 군 준동형의 범주 \operatorname{Grp} 속의 내적 범주와 같다.[1]:269

참고 문헌[편집]

  1. Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]