모노이드 대상

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범주론에서, 모노이드 대상(monoid對象, 영어: monoid object)은 모노이드 범주에서 모노이드와 같은 성질을 가진 대상이다.

정의[편집]

모노이드 대상[편집]

모노이드 대상은 모노이드 범주 속에서 모노이드의 역할을 하는 대상이다.

모노이드 범주라고 하자. 모노이드 대상 는 다음 데이터로 이루어진다.

  • 속의 대상이다.
  • , 속의 사상이다. 이들은 각각 모노이드이항 연산항등원에 해당한다.

이는 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.

  • (결합 법칙) . (여기서 로 간주한다.) 즉, 다음 그림은 가환 그림을 이룬다.
  • (항등원의 존재) 이고, 이다. 즉, 다음 그림은 가환 그림을 이룬다.

군 대상[편집]

군 대상(群對象, 영어: group object)은 을 갖는 범주에서 정의되는, 의 역할을 하는 대상이다. (임의의 모노이드 범주에서 정의되는 모노이드 대상과 달리, 군 대상은 데카르트 모노이드 범주에서만 정의된다. 이는 일반적 모노이드 범주에서 대각 사상 이나 쌍대항등원 이 주어지지 않기 때문이다.)

끝 대상 및 유한 을 갖는 범주라고 하자. 군 대상 는 다음 데이터로 이루어진다.

  • 데카르트 모노이드 범주 의 모노이드 대상이다.
  • 속의 사상이다. 이는 역원에 해당한다.

이는 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.

  • (역원의 존재) 끝 대상의 정의에 따라 유일한 사상 이 존재한다. 또한, 대각 사상이라고 하자. 그렇다면 이다. 즉, 다음 그림이 가환한다.

위와 같은 정의 대신, 군 대상을 다음과 같이 정의할 수 있다. 군 대상 는 임의의 대상 에 대하여 을 이뤄, 함자를 이루는 대상이다. 여기서 군 준동형범주이다.

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모노이드 대상[편집]

집합함수데카르트 모노이드 범주 속의 모노이드 대상은 모노이드와 같다.

범주 위의 자기 함자 범주 속의 모노이드 대상은 모나드라고 한다. 아벨 군의 범주 는 텐서곱과 함께 모노이드 범주를 이루며, 이 모노이드 범주 속의 모노이드 대상은 의 개념과 같다.

군 대상[편집]

대표적인 범주들 속의 군 대상은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

범주 군 대상 비고
집합함수의 범주
위상 공간연속 함수의 범주 위상군
매끄러운 다양체매끄러운 함수의 범주 리 군
대수다양체와 대수다양체 사상의 범주 대수군
스킴과 스킴 사상의 범주 군 스킴(group scheme)
군 준동형의 범주 아벨 군 역원 사상 이 준동형을 이루는 군은 아벨 군이기 때문
모노이드와 모노이드 준동형의 범주 아벨 군
아벨 군군 준동형의 범주 아벨 군
작은 범주의 범주 교차 가군(영어: crossed module)[1]:285–287 군 준동형의 범주 속의 내적 범주와 같다.[1]:269

참고 문헌[편집]

  1. Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]