리 대수 이론에서, 반단순 리 대수(半單純Lie代數, 영어: semisimple Lie algebra)는 단순 리 대수들의 직합인 리 대수이다.
체
위의 리 대수
가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 단순 리 대수(單純Lie代數, 영어: simple Lie algebra)라고 한다.[1]:32
의 리 대수 아이디얼은
과
전체 밖에 없다.
는 아벨 리 대수가 아니다. 즉,
인
가 존재한다.
의 표수가 0이라고 하고,
가
위의 유한 차원 리 대수라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 리 대수를 반단순 리 대수라고 한다.
의 가해(영어: solvable) 아이디얼은
밖에 없다. 즉,
의 근기(영어: radical)가
이다.[1]:32
의 아벨 아이디얼은
밖에 없다.
는 단순 리 대수들의 직합이다.
- (카르탕 반단순성 조건 영어: Cartan’s criterion for semisimplicity)
의 킬링 형식
는 비퇴화 쌍선형 형식이다.[1]:50, Theorem 1.45
반단순 리 군[편집]
반단순 리 군(半單純Lie群, 영어: semisimple Lie group)은 그 리 대수가 반단순 리 대수인 연결 리 군이다.[1]:105 마찬가지로, 단순 리 군(單純Lie群, 영어: semisimple Lie group)은 그 리 대수가 단순 리 대수인 연결 리 군이다.
복소수체 위의 (유한 차원) 단순 리 대수는 근계 또는 이에 대응하는 딘킨 도표로 분류되며, 이에 따라
,
,
,
, E₆, E₇, E₈, F₄, G₂가 있다. 복소수체 위의 단일 연결 단순 리 군은 단순 리 대수와 일대일 대응하며, 단일 연결이 아닌 리 군은 그 범피복군의 중심의 부분군인 정규 부분군에 대한 몫군이다. 이렇게 유한한 수의 무한한 족과 예외적 대상으로 분류하는 것은 유한 단순군의 분류와 유사하지만, (반)단순 리 대수의 분류는 유한 단순군의 경우보다 훨씬 더 간단하며, 고전적으로 증명할 수 있다.
복소수 단순 리 대수[편집]
복소수체 위의 반단순 리 대수의 분류는 복소수 단순 리 대수의 분류로부터 귀결된다. 임의의 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 리 대수의 분류는 이와 동일하다.
모든 복소수 단순 리 대수는 다음 가운데 하나와 동형이다.
,
(복소 무대각합(無對角合, traceless) 행렬 대수)
,
(홀수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
,
(복소 해밀턴 행렬(Hamiltonian matrix) 대수)
,
(짝수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
- 𝖊6, 𝖊7, 𝖊8
- 𝖋4
- 𝖌2
이 가운데, 처음 네 가지를 고전적(영어: classical), 나머지를 예외적(영어: exceptional)이라고 부른다. 여기서 아래 첨자는 근의 수를 나타낸다.
실수 단순 리 대수[편집]
대수적으로 닫힌 체가 아닌 체 위의 반단순 리 대수
의 경우, 우선 그 대수적 폐포
위의 대수
를 분류한 뒤, 이를
에서
로 제약시키는 방법을 분류하여야 한다.
실수체
의 경우, 이에 대응되는 복소수 리 대수는 복소화(영어: complexification)
라고 하며, 주어진 복소수 리 대수에 대응되는 실수 리 대수들은 실수 형식(영어: real form)이라고 한다.
실수 단순 리 대수에서 복소수 단순 리 대수로 가는 복소화 사상은 전사 함수지만, 단사 함수는 아니며, 그 원상은 유한하다. 즉 각 단순 복소 단순 리 대수에 대하여 유한개의 실수 단순 리 대수가 대응하고, 모두 알려져 있다.
복소수 및 실수 단순 리 대수들은 다음과 같다.
복소수 리 대수 |
차원 |
실수 리 대수 |
로마 숫자 표기 |
다른 이름 |
극대 콤팩트 부분 리 대수
|
An
|
|
An(−n2−2n) (콤팩트) |
|
![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(n+1;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629996fe986a132e077e15cacf53a355efb1837d) |
|
An(n) (분할) |
AⅠ |
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd8bcd199dd835b49946455bcbb392be9c00966c) |
|
An(−n−2) |
AⅡ |
, ( ) |
|
|
AⅢ |
( ) |
|
Bn
|
|
Bn(−2n2−n) (콤팩트) |
|
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2n+1;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf40d8167f178085676c9d1d5bd1966b0cda2e0) |
|
Bn(n) (분할) |
BⅠ |
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,n+1;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067812a52a00c42286eae0083e44c958433a2084) |
|
|
BⅡ |
( ) |
|
Cn
|
|
Cn(−2n2−n) (콤팩트) |
|
, ![{\displaystyle {\mathfrak {u}}(n;\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a37aacc11b02582947a2f1f1a3f9eb156be0773) |
|
Cn(n) (분할) |
CⅠ |
![{\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee7a5aa12fe4f80f8789ef1d98d801a9bb652f5) |
|
|
CⅡ |
( ) |
|
Dn
|
|
Dn(−2n2+n) (콤팩트) |
|
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2n;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d35c07d0c162d2817159636fcde5b8f9281f010) |
|
Dn(n) (분할) |
DⅠ |
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,n;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bae074b6264771dc14113426a0c39adf4e31b20) |
|
|
DⅡ |
( ) |
|
Dn(−n) |
DⅢ |
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}^{*}(2n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34017ea8381764af9b41429be7c98d6f90430b32) |
|
E6
|
78
|
E6(−78) (콤팩트) |
|
|
|
E6(6) (분할) |
EⅠ |
|
|
E6(2) |
EⅡ |
|
|
E6(−14) |
EⅢ |
|
|
E6(−26) |
EⅣ |
|
|
E7
|
133
|
E7(−133) (콤팩트) |
|
|
|
E7(7) (분할) |
EⅤ |
|
|
E7(−5) |
EⅥ |
|
|
E7(−25) |
EⅦ |
|
|
E8
|
248
|
E8(−248) (콤팩트) |
|
|
|
E8(8) (분할) |
EⅧ |
|
|
E8(−24) |
EⅨ |
|
|
F4
|
52
|
F4(−52) (콤팩트) |
|
|
|
F4(4) (분할) |
FⅠ |
|
|
F4(−20) |
FⅡ |
|
|
G2
|
14
|
G2(−14) (콤팩트) |
|
|
|
G2(2) (분할) |
GⅠ |
|
|
위 표에서,
은 항상 복소수 리 군의 계수이다.
과 같은 표기에서, 킬링 형식의 부호수가
일 때,
이다. 즉,
는 리 대수의 차원 − 2 × 극대 콤팩트 부분 대수의 차원이다. 특히 분할 형식의 경우
이며, 콤팩트 형식의 경우
는 −1 × 리 대수의 차원이다.
위 표에서, 중복되는 것들은 다음이 전부이다.
(3차원 회전군)
![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\cong {\mathfrak {sl}}(1;\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {o}}(3;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260578208eceb16d7a3c9dbd01295d853e47d85c)
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(1,1)\cong {\mathfrak {o}}(1,2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b601d395ab44c5657bd93d3ade4eede7ff4c8780)
(5차원 회전군)
![{\displaystyle {\mathfrak {usp}}(4)\cong {\mathfrak {o}}(5;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcdb865cbeb3b1d6f887b9d52bdf4360fda8e732)
![{\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2,2)\cong {\mathfrak {o}}(1,4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6cff7dedc5fcf2072bf1ce3a563bb33eb337b89)
![{\displaystyle {\mathfrak {sp}}(4;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {o}}(2,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8ee57fb1c010f2d6727fd558967a7a33ca0120)
(6차원 회전군)
![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(4)\cong {\mathfrak {o}}(6;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f69a827446e03333d34393012d0d3b7cc7d0e7a)
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {o}}(5,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d66112d7bd1ccdfcb3183ebf45fb1a934a25c1f)
![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2)\cong {\mathfrak {o}}(4,2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a86f57279dbcbb2d3afb9f6cf9a7bccf32b9504)
![{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {o}}(3,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c961f52da25cb992cc00b554f1e7a5d54a9d6f3d)
![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(1,3)\cong {\mathfrak {o}}^{*}(6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9afa30e2a44a11d3e88308ea7ae5dfec20f1264)
(8차원 회전군)
또한,
는 단순 리 대수가 아니다.
복소수 반단순 리 대수는 엘리 카르탕이 1894년에 박사 학위 논문에서 분류하였다.[2] 실수 반단순 리 대수는 펠릭스 루비노비치 간트마헤르(러시아어: Фе́ликс Руви́мович Гантма́хер)가 1939년에 분류하였다.[3]
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]