8차원 회전군

리 군론에서 8차원 회전군(八次元回轉群, 영어: eight-dimensional rotation group)은 8차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(8) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 삼중성(영어: triality)이라는 특별한 대칭을 갖는다.

정의

8차원 회전군은 8차원 실수 계수 직교군 $\operatorname {O} (8;\mathbb {R} )$이다. 그 딘킨 도표는

$\bullet -\bullet {\big \langle }{\textstyle \bullet \atop \textstyle \bullet }$

이다. 이 그래프는 중심 밖의 꼭짓점의 순열에 대하여 3차 대칭군 $\operatorname {Sym} (3)$ 대칭을 갖는데, 이를 삼중성(영어: triality)이라고 한다. 삼중성을 갖는 연결 딘킨 도표는 이것이 유일하다.

그 복소수 리 대수 ${\mathfrak {o}}(8;\mathbb {C} )$은 5개의 실수 형태를 갖는다. 이에 대응하는 리 군들은 다음이 있다.

킬링 형식의 부호수	기호	직교군 기호	사타케 도표	보건 도표	비고
(0,28)		Spin(8)	$\bullet -\bullet {\big \langle }{\textstyle \bullet \atop \textstyle \bullet }$	$\circ -\circ {\big \langle }{\textstyle \circ \atop \textstyle \circ }$	콤팩트 형태
(7,21)	D₄Ⅱ	Spin(1,7)	$\circ -\bullet {\big \langle }{\textstyle \bullet \atop \textstyle \bullet }$	$\circ -\circ {\big \langle }{\textstyle \circ \atop \textstyle \circ }\}$
(12,16)	D₄Ⅱ, D₄Ⅲ	SO*(8)=SO(2,6)	$\circ -\circ {\big \langle }{\textstyle \bullet \atop \textstyle \bullet }$	$\bullet -\circ {\big \langle }{\textstyle \circ \atop \textstyle \circ }$
(15,13)	D₄Ⅱ	Spin(3,5)	$\circ -\circ {\big \langle }{\textstyle \circ \atop \textstyle \circ }\}$	$\bullet -\circ {\big \langle }{\textstyle \circ \atop \textstyle \circ }\}$
(16,12)	D₄Ⅰ	Spin(4,4)	$\circ -\circ {\big \langle }{\textstyle \circ \atop \textstyle \circ }$	$\circ -\bullet {\big \langle }{\textstyle \circ \atop \textstyle \circ }$	분할 형태

성질

콤팩트 형태

Spin(8)의 최소 스피너는 8차원 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 8차원 벡터 표현과 같은 크기이며, 삼중성은 이 세 표현 위에 작용한다.

Spin(8)의 군의 중심은 클라인 4원군

$\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (8))\cong \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)$

이며, 이는 유한체 $\mathbb {F} _{2}$ 위의 2차원 벡터 공간 $\mathbb {F} _{2}^{\oplus 2}$의 벡터들의 덧셈군으로 여겨질 수 있다. 이 군의 자기 동형군은

$\operatorname {Aut} \left(\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (8))\right)\cong \operatorname {GL} (2;\mathbb {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (3)$

이다. 구체적으로, $\mathbb {F} _{2}^{\oplus 2}$는 영벡터가 아닌 세 개의 벡터 (0,1), (1,0), (1,1)을 갖는데, 자기 동형군은 이 위의 순열로서 작용한다.

특수 직교군 $\operatorname {SO} (8;\mathbb {R} )$에서, 이 중심군은 $\operatorname {Cyc} (2)$로 깨지며, 이에 따라 삼중성 역시 깨지게 된다. 이는 스피너가 특수 직교군의 표현을 이루지 못함에 대응한다.

물론, 모든 중심을 몫군을 취해 없애 사영 특수 직교군 $\operatorname {PSO} (8;\mathbb {R} )$을 취하면, 다시 삼중성이 존재하게 된다. 이는 벡터 표현 또한 사영 특수 직교군의 표현을 이루지 못함에 대응한다.

분할 형태

$\operatorname {SO} ^{+}(4,4)$의 군의 중심은 $\operatorname {Cyc} (2)$이며, 위상수학적으로 그 호모토피 유형은 $\operatorname {SO} (4)\times \operatorname {SO} (4)$이므로, 그 기본군은 $\operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)$이다. 다시 말해, $\operatorname {SO} ^{+}(4,4)$의 범피복군의 군의 중심은

$\operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)\cong \mathbb {F} _{2}^{\oplus 3}$

이다. 그 자기 동형군은 크기 168의 유한 단순군

$\operatorname {GL} (3;\mathbb {F} _{2})\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {F} _{7})$

이며, 삼중성은 그 위에 작용한다.

Spin(4,4)의 최소 스피너는 8차원 실수 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 삼중성은 이 두 스피너와 8차원 벡터 표현 위에 작용한다.

SO(3,5)

Spin(3,5)의 최소 스피너는 복소수 8차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 또는 실수 16차원 마요라나 스피너이다.

$\operatorname {SO} (3,5)$의 범피복군의 군의 중심은 마찬가지로 $\operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)$이다.

SO(2,6) = SO*(8)

실수 리 대수 ${\mathfrak {o}}(2,6)$은 ${\mathfrak {o}}^{*}(8)$과 일치한다. 이에 대응하는 리 군의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 (1,5)차원 민코프스키 공간의 등각군으로 해석될 수 있다.

동형 사상

${\mathfrak {o}}(2,6)\cong {\mathfrak {o}}^{*}(8)$

은 6차원 회전군의 동형 사상

${\mathfrak {su}}(1,3)\cong {\mathfrak {o}}^{*}(6)$

을 확장시킨다.

로런츠 형태 SO(1,7)

실수 리 대수 ${\mathfrak {o}}(1,7)$은 실수 16차원 마요라나 스피너 및 복소수 8차원 바일 스피너를 갖는다. 이는 6차원 유클리드 공간의 등각군으로 해석될 수 있다.

참고 문헌

• Adams, John Frank (1981). 〈Spin(8), Triality, F₄ and all that〉. Hawking, Stephen; Roček, Martin. 《Superspace and supergravity》 (영어). Cambridge University Press. 435–445쪽. 

외부 링크

• “Triality”. 《nLab》 (영어). 
• “Triality of Spin(8)”. 《Math Overflow》 (영어). 
• Distler, Jacques (2012년 1월 27일). “G₂ and Spin(8) Triality”. 《Musings》 (영어).