3차원 직교군(三次元直交群, 영어: three-dimensional orthogonal group)은 3차원 유클리드 공간의 회전 및 반사로 구성되는 리 군이다.
3차원 직교군
는 3×3 실수 직교 행렬들로 구성된 리 군이다.
다음과 같은 리 군들이 서로 동형이다.
- 3차원 특수직교군
. 3×3 실수 직교 행렬의 행렬식은 ±1이며, 이 가운데 행렬식이 +1인 것들은
의 부분군을 이룬다. 이 부분군을
라고 한다.
- 2차원 사영 특수 유니터리 군
.
- 3차원 사영 특수직교군
. 차원이 홀수이므로 사영 직교군은 특수직교군과 같다.
다음과 같은 리 군들이 서로 동형이다.
- 2차원 특수 유니터리 군
는 2×2 복소수 유니터리 행렬 가운데, 행렬식이 1인 것들로 구성된 리 군이다.
- 3차원 스핀 군
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e6f92f5ca593772034403222c5bb07c4b13f35d)
- 1차원 심플렉틱 군
. 이는 노름이 1인 사원수들의 곱셈군이다.
복소수 표현[편집]
다음과 같은 두 겹 피복이 존재한다.
![{\displaystyle \operatorname {SU} (2)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/385c4726865ff43bdb71871f569a5b7262154d22)
즉,
는 3차원 스핀 군
과 동형이다. 이 피복 사상은 다음과 같다.
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\bar {\alpha }}^{2}-{\bar {\beta }}^{2})&{\frac {i}{2}}(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\bar {\alpha }}^{2}+{\bar {\beta }}^{2})&-\alpha \beta -{\bar {\alpha }}{\bar {\beta }}\\{\frac {i}{2}}(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\bar {\alpha }}^{2}+{\bar {\beta }}^{2})&{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\bar {\alpha }}^{2}+{\bar {\beta }}^{2})&-i(+\alpha \beta -{\bar {\alpha }}{\bar {\beta }})\\\alpha {\bar {\beta }}+{\bar {\alpha }}\beta &i(-\alpha {\bar {\beta }}+{\bar {\alpha }}\beta )&\alpha {\bar {\alpha }}-\beta {\bar {\beta }}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb1511475371d215302543fc3ad6b0d37b4e8770)
이는 다음과 같이 해석할 수 있다. 우선,
는 2차원 구
위에 등거리 사상으로 구성된 표준적인 충실한 표현을 가진다. 또한,
는 리만 구
로 해석할 수 있으며, 이 경우 구의 등거리 자기 동형은 리만 구 위의 뫼비우스 변환으로 나타내어진다. 즉, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.
![{\displaystyle \iota \colon \operatorname {SO} (3)\hookrightarrow \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47f888b4fb7d24ae80713817ce26834709711b8)
이 경우,
의 상은 다음과 같은 꼴의 뫼비우스 변환들이다.
![{\displaystyle z\mapsto {\frac {\alpha z+\beta }{-{\bar {\beta }}z+{\bar {\alpha }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dca30df0d353bc78b400ec4d34d00f68d2c9a22e)
마찬가지로, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.
![{\displaystyle \iota '\colon \operatorname {PSU} (2)\hookrightarrow \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/255e395a09fa44752f8db399aa0e448946eef3aa)
![{\displaystyle \iota '\colon \pm {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}\mapsto \left(z\mapsto {\frac {\alpha z+\beta }{-{\bar {\beta }}z+{\bar {\alpha }}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7379a39b8a5b1d849e319ea63ef9285e84e29645)
따라서, 이는 동형
를 정의한다.
사원수 표현[편집]
동형
은 다음과 같이 이해할 수 있다.
은 정의에 따라 노름이 1인 사원수들로 구성된다. 주어진 사원수에 대응하는 2×2 특수 유니터리 행렬은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Sp} (1)\mapsto \operatorname {SU} (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c6f09fcd372005ac5c7eeb8344e42b44c9e6043)
![{\displaystyle a+ib+jc+kd\mapsto {\begin{pmatrix}a+ib&-c+id\\c+id&a-ib\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b2654aae31043d764d8ee1f2ed48ed53266e011)
마찬가지로, 두 겹 피복군
는 다음과 같이 이해할 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {Sp} (1)\mapsto \operatorname {SO} (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e480c971d97db682878aba39d3aa44870e5b33f)
![{\displaystyle a+ib+jc+kd\mapsto {\begin{pmatrix}1-2c^{2}-2d^{2}&2bc-2da&2bd+2ca\\2bc+2da&1-2b^{2}-2d^{2}&2cd-2ba\\2bd-2ca&2cd+2ba&1-2b^{2}-2c^{2}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced493fbc756efca24c883cdc896d080b23fc834)
이는
를 축으로 하여, 각도
만큼 회전하는 행렬이며, 여기서 각도
는 다음과 같다.
![{\displaystyle \cos(\theta )=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1167bd770fd235f989f193490f9b5b5929abf6)
![{\displaystyle |\sin(\theta )|=\|a+ib+jc+kd\|={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11db19e6f199f0eee80f70cf8e3986cc6c8f5bd1)
즉, 단위 사원수 집합을 4차원 극좌표계
로 나타내었을 때,
는 극각에 해당한다..
이 경우, 사원수
와
가 같은 직교 행렬에 대응하므로, 이는 2겹 피복임을 알 수 있다.
이는 사원수 곱셈으로서 다음과 같이 나타낼 수 있다. 4차원 벡터
를 사원수
로 나타내자. 그렇다면, 4차원 회전
의 작용은 다음과 같이 생각할 수 있다. 각
의 원소를 단위 사원수
,
로 나타낸다면, 4차원 회전은 다음과 같다.
![{\displaystyle v\mapsto q_{1}vq_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0bd3ddc1a514dde5bf8c42ccec23dc6b0ca1e94)
여기서
에 대한 몫군을 취하는 것은
와
가 같은 작용을 갖기 때문이다.
3차원 공간의 회전은 이 작용에서,
축의 안정자군이다.
축이 고정될 조건은
인 것이며, 따라서
이다. 즉,
의 작용은 다음과 같다.
![{\displaystyle v\mapsto qv{\bar {q}}\qquad (q\in \mathbb {H} ,\;\|q\|=1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325bf980bd2060e0eba1ad497e5a26cad4b48dda)
여기서
에 대한 몫군을 취하는 것은
가 같은 작용을 갖기 때문이다.
리 대수[편집]
의 리 대수
의 기저는 파울리 행렬
로 주어진다.
![{\displaystyle [{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{i},{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{j}]=\epsilon _{ijk}{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f0c03ffd30d3674103caf4ed0d6a00764b13c9)
의 리 대수
의 기저는 무한소 3차원 회전
로 다음과 같이 주어진다.
![{\displaystyle L_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae3528d5f541954c282454bbbf2bdc19446a8f7)
![{\displaystyle L_{2}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec74402ff88647fcbf10327f612d1971a9779b3)
![{\displaystyle L_{3}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212a66d653088cbbed6ba7ab4f91ea6fb279b544)
는
번째 축에 대한 무한소 회전이며, 다음과 같은 구조 상수를 갖는다.
![{\displaystyle [L_{i},L_{j}]=\epsilon _{ijk}L^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc0b95adf47477594d3154d03a0f6cc68ed1c3eb)
이 경우, 리 대수의 동형
는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sigma ^{1}\mapsto L_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659f53d114051bd609ffe54778ed11c695820dfd)
대수학적 성질[편집]
의 중심은
이며, 이에 대하여 몫군을 취하면
를 얻는다.
SO(3) 또는 SU(2)의 유한 부분군은 ADE 분류를 갖는다.
위상수학적 성질[편집]
와
는 둘 다 콤팩트 연결 3차원 매끄러운 다양체이다.
는 위상수학적으로 3차원 초구
이다. (초구에 리 군의 구조를 줄 수 있는 경우는 0·1·3차원밖에 없다.) 이는 콤팩트 단일 연결 공간이다.
는 위상수학적으로 3차원 실수 사영 공간
이다. 여기서
에 대한 몫공간을 취하는 것은 대척점을 이어붙이는 것과 같다.
는 두 개의 연결 성분을 가진다. 이는 행렬식이 ±인 직교 행렬들로 구성된다.
표현론[편집]
의 유한 차원 표현은 차원에 따라 완전히 분류된다. 즉, 주어진 차원
에 대하여, (동형 아래) 유일한
차원 복소수 표현이 존재하며, 이는 유니터리 표현이다. 만약
이 짝수인 경우, 이는
차원 실수 표현으로 나타낼 수 있다. 양자역학에서,
차원 표현은 스핀
표현으로 일컬어진다.
의 유한 차원 표현들은
의
차원 표현들 가운데,
이 홀수인 것들이다. 예를 들어,
인 경우는
를 정의하는, 3차원 유클리드 공간 위의 특수 직교 행렬로서의 표현이다.
외부 링크[편집]
같이 보기[편집]