리 군론에서, 고전군(古典群, 영어: classical group)은 실수, 복소수, 또는 사원수 계수의, 특별한 쌍선형 형식 또는 에르미트 형식을 보존하는 정사각 행렬로 구성되는 리 군이다. 이들은 모두 (중심에 대한 몫을 취하면) 단순 리 군을 이룬다. 고전군이 아닌 단순 리 군은 F₄, G₂, E₆, E₇, E₈ 밖에 없다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
- 유한 차원 실수 결합 대수를 이루는 나눗셈환
(실수체, 복소수체, 또는 사원수 대수)
위의 유한 차원 왼쪽 가군 (벡터 공간) ![{\displaystyle _{K}V\cong {}_{K}K^{\oplus n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32219c18ee48e5303096b8241390a7d6cd6168c)
- 실수 결합 대수의 준동형
,
. 즉, 이는 항등 함수이거나 또는 (
일 때) 켤레 연산이다.
- 특히,
일 때,
는 환 준동형이 아니므로,
이어야 한다. 따라서,
네 가지가 있다.
위의 함수
. 이는 실수 계수 쌍선형 형식이어야 하며, 또한 다음 조건을 만족시켜야 한다.
![{\displaystyle Q(ua,vb)=\sigma (a)Q(u,v)b\qquad \forall u,v\in V,\;a,b\in K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de04454a3b62c8e169a37d85f96b766f10e5c7c4)
그렇다면, 이 데이터로 정의되는 고전군은 다음과 같은 부분군이다.
![{\displaystyle G=\{T\in \operatorname {GL} (V;K)\colon Q(Tu,Tv)=Q(u,v)\;\forall u,v\in V\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe2df92638cbce49a321a0af9d490b95d9b0979)
위의, 위와 같은 함수
는 항상 다음과 같이 분해된다.
![{\displaystyle Q(u,v)=Q^{+}(u,v)+Q^{-}(u,v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1486421c652fd556805374da23dff2cdf9e024)
![{\displaystyle Q^{\pm }(u,v)={\frac {1}{2}}(Q(u,v)\pm \sigma (Q(v,u)))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ab08a0048225600d019574b8a1616296dd74d7)
그렇다면,
는 다음과 같은 성질을 갖는다.
![{\displaystyle Q^{\pm }(u,v)=\pm \sigma (Q(v,u))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1267b2ecdb04e0091e6488f6e9900a2e13b2df)
따라서,
로 정의되는 고전군은
와
로 정의되는 두 고전군의 교집합이다.
또한, 만약
이며,
인 경우, 가능한
는
밖에 없다 (즉, 자명하지 않은 사원수 쌍선형 형식은 존재하지 않는다).
이제, 가능한 경우는 다음 밖에 없으며, 각 경우 이차 형식을 다음과 같은 표준 형식으로 놓을 수 있다.
계수 ![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0) |
의 조건 |
고전군 |
표준 형식 |
리 대수 형태
|
실수체 |
0 |
![{\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8676bbec81b5e16d61f46b5354d8a52c78f6ddd3) |
0 |
|
대칭 쌍선형 |
![{\displaystyle \operatorname {O} (p,n-p;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a038c7d2a9668bebc0add9e3083c436c86cb3c77) |
![{\displaystyle x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{p}y_{p}-(x_{p+1}y_{p+1}+\dotsb +x_{n}y_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc5dbbc999190089a24bfb83891a3f14a08543e) |
또는
|
반대칭 쌍선형 |
( 짝수) |
![{\displaystyle x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3}+\dotsb +x_{n-1}y_{n}-x_{n}y_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c58d9a8c5a993496d966a3a6e938f9827f6062) |
|
복소수체 |
0 |
![{\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/193e255d0d49b68ff7dc4beb3ec296a669dbee35) |
0 |
|
대칭 쌍선형 |
![{\displaystyle \operatorname {O} (n;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63634c5c4e381d67a18e8965a35de360faba2751) |
![{\displaystyle x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{n}y_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca871e6609da205732a73e7d6a6b886fb698ee16) |
또는
|
반대칭 쌍선형 |
( 짝수) |
![{\displaystyle x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3}+\dotsb +x_{n-1}y_{n}-x_{n}y_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c58d9a8c5a993496d966a3a6e938f9827f6062) |
|
에르미트
|
![{\displaystyle \operatorname {U} (p,n-p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5450ac7983aeee4a75867fc1e29e5e5d6faf94c) |
|
|
반에르미트 |
|
사원수 대수 |
0 |
![{\displaystyle \operatorname {U} ^{*}(2n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe31c75b99db20fb50e7f95b216d010a78928377) |
0 |
|
에르미트 |
![{\displaystyle \operatorname {USp} (2p,2(n-p))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b31295a3fd073a5bcbc2f1005a95909bf9908d4) |
![{\displaystyle {\bar {x}}_{1}y_{1}+\dotsb +{\bar {x}}_{p}y_{p}-({\bar {x}}_{p+1}y_{p+1}+\dotsb +{\bar {x}}_{n}y_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc285ec0af9f6fb3ead69a77ee634b22bfdab26) |
|
반에르미트 |
![{\displaystyle \operatorname {O} ^{*}(2n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a6629b996a22637d3e41fd1dca540957d6a6c00) |
![{\displaystyle {\bar {x}}_{1}\mathrm {i} y_{1}+\dotsb +{\bar {x}}_{n}\mathrm {i} y_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d02da23f25d2a234727b7438e574e105b6e7124) |
|
고전군 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {U} (p,q)\subseteq \operatorname {GL} (p+q;\mathbb {C} )\cap \operatorname {O} (2p,2q;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b637c54ced04af22ab96b7d680dc6f4f217dcecf)
![{\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {U} (p,q)\cap \operatorname {O} (p+q;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2a830963dca28449f7805fa8eb7bedad5ce196a)
![{\displaystyle \operatorname {Sp} (p,q;\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {Sp} (p+q;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58266ed0f2f67e546a48559dda9ca0e83db5e148)
![{\displaystyle \operatorname {USp} (p,q)=\operatorname {U} (p,q)\cap \operatorname {Sp} (p+q;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ab628bbc13be1ee08d54643a3604ed729290e48)
![{\displaystyle \operatorname {U} ^{*}(2n)\subseteq \operatorname {GL} (2n;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94b9d3a5f9696b09a37500528e26979c1e0b90ca)
![{\displaystyle \operatorname {O} ^{*}(2n)=\operatorname {O} (2n;\mathbb {C} )\cap \operatorname {U} (n,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec23a69f14938e4539d324b508fd5c2e4b5f6a3)
![{\displaystyle \operatorname {U} (n/2)\cong \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )\cap \operatorname {Sp} (n;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be97eaef6efeff79d7e614181f773a8ddc88dca2)
‘고전군’(영어: classical group)이라는 용어는 헤르만 바일이 1939년에 최초로 사용하였다.[1]
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]