고전군

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리 군론에서, 고전군(古典群, 영어: classical group)은 실수, 복소수, 또는 사원수 계수의, 특별한 쌍선형 형식 또는 에르미트 형식을 보존하는 정사각 행렬로 구성되는 리 군이다. 이들은 모두 (중심에 대한 몫을 취하면) 단순 리 군을 이룬다. 고전군이 아닌 단순 리 군은 F₄, G₂, E₆, E₇, E₈ 밖에 없다.

정의[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 유한 차원 실수 결합 대수를 이루는 나눗셈환 (실수체, 복소수체, 또는 사원수 대수)
  • 위의 유한 차원 왼쪽 가군 (벡터 공간)
  • 실수 결합 대수준동형 , . 즉, 이는 항등 함수이거나 또는 (일 때) 켤레 연산이다.
    • 특히, 일 때, 환 준동형이 아니므로, 이어야 한다. 따라서, 네 가지가 있다.
  • 위의 함수 . 이는 실수 계수 쌍선형 형식이어야 하며, 또한 다음 조건을 만족시켜야 한다.

그렇다면, 이 데이터로 정의되는 고전군은 다음과 같은 부분군이다.

분류[편집]

위의, 위와 같은 함수 는 항상 다음과 같이 분해된다.

그렇다면, 는 다음과 같은 성질을 갖는다.

따라서, 로 정의되는 고전군은 로 정의되는 두 고전군의 교집합이다.

또한, 만약 이며, 인 경우, 가능한 밖에 없다 (즉, 자명하지 않은 사원수 쌍선형 형식은 존재하지 않는다).

이제, 가능한 경우는 다음 밖에 없으며, 각 경우 이차 형식을 다음과 같은 표준 형식으로 놓을 수 있다.

계수 의 조건 고전군 표준 형식 리 대수 형태
실수체 0 0
대칭 쌍선형 또는
반대칭 쌍선형 ( 짝수)
복소수체 0 0
대칭 쌍선형 또는
반대칭 쌍선형 ( 짝수)
에르미트
반에르미트
사원수 대수 0 0
에르미트
반에르미트

성질[편집]

고전군 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

역사[편집]

‘고전군’(영어: classical group)이라는 용어는 헤르만 바일이 1939년에 최초로 사용하였다.[1]

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]