바일 지표 공식

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리 군 표현론에서, 바일 지표 공식(Weyl指標公式, 영어: Weyl character formula)은 주어진 복소수 기약 표현의 지표를 제시하는 공식이다.

정의[편집]

위의 리 대수 의 유한 차원 표현 지표(指標, 영어: character)는 다음과 같다.

여기서 행렬 지수 함수를 취하는 것은 리 대수를 리 군으로 대응시키는 것이다.

이제, 다음과 같은 조건이 주어졌다고 하자.

  • 이다.
  • 는 복소수 반단순 리 대수이며, 그 카르탕 부분 대수이며, 그 바일 군이다. 양근들의 집합을 라고 하자.
  • 는 복소수 유한 차원 기약 표현이며, 그 최고 무게이다.

바일 군의 원소 는 카르탕 부분 대수 위에 표현

을 가진다. 이 표현의 행렬식 은 바일 군의 원소의 길이(영어: length)와 관계되어 있다. 바일 군의 원소의 길이는 의 표현을 단순근에 대한 반사들의 합성으로 구현하였을 때 필요한 최소 개의 반사의 수이며, 이 경우

이다.

그렇다면, 바일 지표 공식은 다음과 같다.

특수한 경우[편집]

바일 차원 공식[편집]

지표를 리 대수의 원소 0에서 계산한다면, 리 대수 표현의 차원을 얻는다. 바일 지표 공식에 을 대입하면, 분모와 분자 둘 다 0이 되어 0/0을 얻으므로, 대신 극한을 취하고, 로피탈의 정리를 사용하여 바일 차원 공식(Weyl次元公式, 영어: Weyl dimension formula)을 얻을 수 있다.

여기서

이다.

바일 분모 공식[편집]

자명한 1차원 표현의 지표는 항상 1이다. 바일 지표 공식을 자명한 1차원 표현에 대하여 적용하면, 다음과 같은 바일 분모 공식(Weyl分母公式, 영어: Weyl denominator formula)을 얻는다.

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가장 간단한 복소수 단순 리 대수를 생각하자. 카르탕 부분 대수가 1차원이므로, 편의상 복소평면과의 동형을 고를 수 있다. 이 경우, 바일 군은 2차 순환군 이다. 그 근계는 두 개의 근을 가지며, 그 중 하나만이 양근이다. 긴 근의 길이는 이므로, 기본 무게의 길이는 이다.

의 기약 표현들은 차원에 따라서 완전히 분류되며, 모든 양의 정수에 대하여 그 차원의 기약 표현이 존재한다. 차원 기약 표현의 최고 무게는 기본 무게의 배이다. 따라서, 차원 표현에 바일 지표 공식을 적용하면 다음과 같다.

이다. 극한을 취하면, 바일 차원 공식

을 얻는다.

역사[편집]

헤르만 바일이 발견하였다.[1][2][3]

참고 문헌[편집]

  1. Weyl, Hermann (1925). “Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen I”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 23: 271–309. ISSN 0025-5874. doi:10.1007/BF01506234. 
  2. Weyl, Hermann (1926). “Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen II”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 24: 328–376. ISSN 0025-5874. doi:10.1007/BF01216788. 
  3. Weyl, Hermann (1926). “Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen III”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 24: 377–395. ISSN 0025-5874. doi:10.1007/BF01216789. 

외부 링크[편집]