해석함수

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수학에서 해석함수(解析函數, analytic function)란 국소적으로(locally) 수렴하는 멱급수로 나타낼 수 있는 함수를 말한다. 함수 f 가 한 점 x_0 에서 해석적이라는 것은 그 점 근방에서의 테일러 급수가 수렴하는 것과 같은 의미이고, 정의역 D 의 모든 점에서 해석적인 함수를 해석함수라하고 한다. 일반적으로 해석함수는 실함수와 복소함수의 경우로 나누어 생각하며 복소해석함수는 실해석함수에 비해 수학적으로 풍부한 성질을 갖는다.

정의[편집]

수직선 위의 열린집합 D에서 정의된 실함수 f 가 해석함수라 함은 fD 안의 모든 점에서 해석적임을 말한다. 또 f 가 한 점 x_0 \in D에서 해석적이라 함은 x_0 근방에서 수렴하는 급수가 존재하여

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n (x-x_0)^n =a_0 + a_1 (x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots, \qquad a_n \in \mathbb{R}

와 같이 쓸 수 있음을 뜻한다.

실해석함수는 무한번 미분가능하며, 정의역 안의 모든 점에서의 테일러급수f 로 수렴한다. 즉, 정의역 안의 한 점 x_0 \in D 근방의 모든 점 x \in D 에 대해

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n

이다.

복소해석함수의 정의는 위의 정의에서 수직선을 복소평면으로, 실함수를 복소함수로, 급수에서 a_n \in \mathbb{R}a_n \in \mathbb{C}로 바꾸면 된다. 다만 복소평면에서의 근방이란 면적을 갖는 열린집합이라는 사실에 유의해야 한다. 복소해석함수도 실해석함수와 마찬가지로 무한번 미분가능하며, 테일러급수로 나타낼 수 있다. 복소해석함수는 코시-리만 방정식을 만족한다. 복소수 평면 \mathbb{C} 전체에서 해석적인 함수를 특별히 전해석함수(entire function)라고 한다.

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기본 함수들 - 다항함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수 등 -은 수직선(또는 복소평면)의 특정영역에서 해석적이다. 다음은 해석함수의 예이다.

    • n다항함수(실 또는 복소다항함수 모두)  p(x)=a_0 +a_1x + a_2 x^2 +\cdots +a_nx^n 는 급수 \sum_{j=0}^{\infty} a_j x^n 에서 j>n일 때 a_j=0인 경우로 생각할 수 있다.
    • 지수함수 e^x는 점 x_0 \in \mathbb{R} (또는 \mathbb{C})에서 급수 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{x_0}}{n!}(x-x_0)^n 로 나타낼 수 있다.

그러나 모든 함수가 해석함수인 것은 아니다. 예를 들어 실함수  f (x)=|x|x=0에서 미분가능하지 않으므로 해석적이지 않다. 또한 복소함수 f(z)=\overline{z}는 복소평면 위의 어떤 점에서도 해석적이지 않다.