유수 공식

이 문서는 수론에서 데데킨트 제타 함수의 유수(留數, residue)를 수체의 유수(類數, class number) 등으로 계산하는 정리에 관한 것입니다. 복소해석학에서 정칙 함수의 선적분을 유수(留數, residue)의 합으로 계산하는 정리에 대해서는 유수 정리 문서를 참고하십시오.

수론에서 유수 공식(類數公式, 영어: class number formula)은 수체의 데데킨트 제타 함수의 극점의 유수에 대한 공식이다. 제타 함수 극점의 차수는 여러 수론적 불변량과 관련되어 있다. 이 공식의 이름에서의 ‘유수’는 복소해석학의 유수(留數, 영어: residue)가 아니라 수론의 유수(類數, 영어: class number)이다.

정의

수체 $K$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 수체의 다음과 같은 데이터를 정의할 수 있다.

• 유리수체의 확대로서의 차수 $[K:\mathbb {Q} ]=r_{1}+2r_{2}$
  • $r_{1}$은 $K$의 실수 매장의 수이고, $r_{2}$는 복소 매장의 수이다.
• $h_{K}$는 $K$의 유수(아이디얼 유군의 크기)이다.
• $R_{K}$는 $K$의 정칙자(regulator)이다.
• $g_{K}$는 $K$가 포함하는 1의 거듭제곱근의 수이다.
• $\Delta _{K}$는 $K$의 판별식이다.

그렇다면 $K$의 데데킨트 제타 함수 $\zeta _{k}(s)$는 (해석적 연속을 통해 정의하면) 복소평면에서 유리형 함수이며, $s=1$에서 단 하나의 극점을 가진다. 극점의 유수는 다음과 같은 유수 공식에 의해 주어진다.

$\lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r_{1}}(2\pi )^{r_{2}}h_{K}R_{K}}{g_{K}{\sqrt {|\Delta _{K}|}}}}$

참고 문헌

• Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 322. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021. 

외부 링크

• Lavrik, A.F. (2001). “Zeta-function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.