정규 확대

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체론에서, 정규 확대(正規擴大, 영어: normal extension)는 일련의 다항식들의 분해체대수적 확대이다.

정의[편집]

대수적 확대 에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 대수적 확대를 정규 확대라고 한다.

  • 기약 다항식 에서 적어도 하나의 근을 갖는다고 하면, 에서 완전히 인수분해된다. 즉, ()의 꼴로 나타낼 수 있다.
  • 는 일련의 다항식들의 집합 분해체와 (의 확대로서) 동형이다.
  • 모든 매장 자기 동형 사상으로부터 유도된다. 구체적으로, 확대 매장을 로 쓰자. 대수적 폐포 로 가는 매장 이 주어졌다고 하고, 또한 라고 하자. 또한, 대수적 확대이므로, 그 최소 다항식들로부터 매장 를 정의할 수 있다. 그렇다면 이다.

성질[편집]

의 유한 차수 대수적 분해 가능 확대 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 는 정규 확대이다.
  • 은 어떤 기약 다항식 분해체 와 동형이다.

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대수적 확대 는 정규 확대이다.

대수적 확대 는 정규 확대가 아니다. 의 기약 다항식 에서

이므로 하나의 근을 갖지만 완전히 인수분해되지 않는다.

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]