정규 확대

체론에서 정규 확대(正規擴大, 영어: normal extension)는 일련의 다항식들의 분해체인 대수적 확대이다.

정의

체 $K$의 대수적 확대 $L/K$에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 대수적 확대를 정규 확대라고 한다.

• $K[x]$의 기약 다항식 $p(x)$가 $L$에서 적어도 하나의 근을 갖는다고 하면, $p(x)$는 $L[x]$에서 완전히 인수분해된다. 즉, $p(x)=a\prod _{i=1}^{n}(x-b_{i})$ ($a,b_{i}\in L$)의 꼴로 나타낼 수 있다.
• $L/K$는 일련의 다항식들의 집합 $P\subset K[x]$의 분해체와 ($K$의 확대로서) 동형이다.
• 모든 매장 $L\to {\bar {K}}$는 $L$의 자기 동형 사상으로부터 유도된다. 구체적으로, 확대 매장을 $\iota _{KL}\colon K\hookrightarrow L$로 쓰자. 또한, $L$은 대수적 확대이므로, $K$의 대수적 폐포 $\iota _{K{\bar {K}}}\colon K\hookrightarrow {\bar {K}}$로 가는 매장 $\iota _{L{\bar {K}}}\colon L\hookrightarrow {\bar {K}}$이 존재하며, 또한 $\iota _{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}=\iota _{K{\bar {K}}}$이도록 잡을 수 있다. (이는 초른 보조정리를 통해 보일 수 있다.) 그렇다면, 임의의 매장 ${\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\colon L\hookrightarrow {\bar {K}}$에 대하여, ${\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}=\iota _{K{\bar {K}}}$라면 $\iota _{L{\bar {K}}}(L)={\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(L)\subset {\bar {K}}$이다.

증명:

첫째 조건 ⇒ 둘째 조건. 임의의 $a\in L$에 대하여, $p_{a}\in K[x]$가 $a$의 $K$에 대한 최소 다항식이라고 하자. 그렇다면, 가정한 첫째 조건에 따라 $L$은 모든 $p_{a}$의 모든 근을 포함한다. 즉, $L$은 $\{p_{a}\colon a\in L\}$의 $K$에 대한 어떤 분해체를 포함한다. 임의의 $a\in L$은 $p_{a}$의 근이므로 이 분해체에 속한다. 즉, $L$은 $\{p_{a}\colon a\in L\}$의 분해체를 이룬다.

둘째 조건 ⇒ 셋째 조건.

$\iota _{KL}\colon K\to L$

$\iota _{K{\bar {K}}}\colon K\to {\bar {K}}$

$\iota _{L{\bar {K}}}\colon L\to {\bar {K}}$

${\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\colon L\to {\bar {K}}$

$\iota _{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}={\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}=\iota _{K{\bar {K}}}$

가 셋째 조건에서 정의한 매장들이라고 하자. 편의상 $K\subseteq L\subseteq {\bar {K}}$이며 $\iota _{KL}$, $\iota _{K{\bar {K}}}$, $\iota _{L{\bar {K}}}$가 이에 대응하는 포함 함수들이라고 하자. 이 경우 조건 ${\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}=\iota _{K{\bar {K}}}$는 ${\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}|_{K}=\operatorname {id} _{K}$가 된다. $S\subseteq L$이 $P$ 속 다항식들의 근들의 집합이라고 하자. 그렇다면, 가정한 둘째 조건에 따라

$L=K(S)$

${\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(L)=K({\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(S))$

이다. 따라서, ${\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(L)=L$임을 보이려면 ${\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(S)=S$임을 보이면 충분하다. 임의의 다항식

$p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}\in P$

가 주어졌다고 하자. 그 $L[x]$에서의 인수 분해가

$p(x)=a_{n}(x-b_{1})\cdots (x-b_{n})$

이라고 하자. 이는 기본 대칭 다항식들이 등장하는 일련의 등식

$a_{0}=(-1)^{n}a_{n}b_{1}\cdots b_{n}$

$a_{1}=(-1)^{n-1}a_{n}(b_{2}\cdots b_{n}+\cdots +b_{1}\cdots b_{n-1})$

$\vdots$

$a_{n}=a_{n}$

과 동치이다. 여기에 매장 ${\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\colon L\to {\bar {K}}$를 가하면 $b_{i}$가 ${\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{i})$로 대체된 등식들을 얻는다.

$a_{0}=(-1)^{n}a_{n}{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1})\cdots {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n})$

$a_{1}=(-1)^{n-1}a_{n}({\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{2})\cdots {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n})+\cdots +{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1})\cdots {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n-1}))$

$\vdots$

$a_{n}=a_{n}$

$a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}$은 $K$의 원소들이므로 변하지 않는다. 즉, $p(x)$의 ${\bar {K}}$에서의 인수 분해는

$p(x)=a_{n}(x-{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1}))\cdots (x-{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n}))$

이다. ${\bar {K}}[x]$는 유일 인수 분해 정역이므로, $p(x)$의 두 인수 분해는 일치한다. 즉, $\{b_{1},\dots ,b_{n}\}$과 $\{{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1}),\dots ,{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n})\}$은 중복집합으로서 같고, 특히 집합으로서 같다. 그런데 $S$는 모든 $p$들에 대한 $\{b_{1},\dots ,b_{n}\}$들의 합집합이며, ${\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(S)$는 모든 $p$들에 대한 $\{{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1}),\dots ,{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n})\}$들의 합집합이다. 따라서, $S={\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(S)$이다.

셋째 조건 ⇒ 첫째 조건. $K$를 부분체로 포함하는 $L$을 부분체로 포함하는 $K$의 대수적 폐포 $K\subseteq L\subseteq {\bar {K}}$를 잡자. 기약 다항식 $p\in K[x]$ 및 $p$의 근 $a\in L$ 및 $p$의 근 $b\in {\bar {K}}$가 주어졌다고 하자. 이제, 다음과 같은 함수를 생각하자.

$K(a)\to K(b)$

$f(a)\mapsto f(b)\qquad (\forall f\in K[x])$

만약 $f(a)=g(a)$라면, $(f-g)(a)=0$이므로 $p(x)\mid f(x)-g(x)$이며, 따라서 $f(b)=g(b)$이다. 즉, 이 함수는 잘 정의된다. 마찬가지로, 만약 $f(b)=g(b)$라면 $f(a)=g(a)$이다. 즉, 이 함수는 단사 함수이다. 이 함수는 자명하게 환 준동형이다. 또한, 이는 자명하게 전사 함수이며, $K$의 원소를 움직이지 않으므로, 체의 확대 $K(a)/K$와 $K(b)/K$ 사이의 동형 사상을 이룬다. $L/K(a)$는 대수적 확대이며, ${\bar {K}}$는 $K(b)$의 대수적 폐포를 이루므로, 이 동형 사상을 확장하는 체의 매장

$\iota \colon L\hookrightarrow {\bar {K}}$

$\iota |_{K}=\operatorname {id} _{K}$

$\iota \colon a\mapsto b$

가 존재한다. 이는 초른 보조정리을 통해 보일 수 있다. 가정한 셋째 조건에 따라, $\iota (L)=L$이며, 특히 $b=\iota (a)\in \iota (L)=L$이다. 이에 따라, $L$은 $p$의 모든 근을 포함하며, $p$는 $L$에서 1차 다항식들의 곱으로 나타낼 수 있다.

대수적 확대 $L/K$의 정규 폐포(正規閉包, 영어: normal closure)는 다음 두 조건을 만족시키는 체의 확대 $N/L$이다.

• $N/K$는 정규 확대이다.
• 임의의 중간체 $L\subseteq M\subseteq N$에 대하여, 만약 $M/K$가 정규 확대라면, $M=N$이다.

임의의 대수적 확대는 정규 폐포를 가지며, 체의 확대의 동형 아래 유일하다. 구체적으로, 임의의 $a\in L$에 대하여 $p_{a}$가 $a$의 $L/K$에서의 최소 다항식이라고 하였을 때, $\{p_{a}\colon a\in L\}\subseteq K[x]$의 분해체는 $L/K$의 정규 폐포를 이룬다. 또한, 대수적 폐포 ${\bar {K}}/L/K$가 주어졌을 때, ${\bar {K}}$ 속 $L/K$의 정규 폐포는 다음과 같다.

$N=K\left(\bigcup _{\sigma \in \hom(L,{\bar {K}})}^{\sigma |_{K}=\operatorname {id} _{K}}\sigma (L)\right)\subseteq {\bar {K}}$

여기서

$K\left(\bigcup _{i\in I}K_{i}\right)=\left\{{\frac {a_{1}+\cdots +a_{m}}{b_{1}+\cdots +b_{n}}}\colon a_{1}\in K_{i_{1}},\dots ,a_{m}\in K_{i_{m}},\;b_{1}\in K_{j_{1}},\dots ,b_{n}\in K_{j_{n}},\;i_{1},\dots ,i_{m},j_{1},\dots ,j_{n}\in I\right\}$

는 주어진 체 $L/K_{i}/K$들을 포함하는 최소의 체이다.

분류

임의의 정규 확대 $L/K$에 대하여,

$M={\begin{cases}K&\operatorname {char} K=0\\\{a\in L|\exists n\in \mathbb {N} \colon a^{p^{n}}\in K\}&\operatorname {char} K=p>0\end{cases}}$

가 $L/K$의 최대 완전 비분해 부분 확대라고 하자. 그렇다면, $L/M$은 갈루아 확대이다. (반대로, 완전 비분해 확대의 갈루아 확대는 항상 정규 확대이다.)

성질

체 $K$의 유한 차수 대수적 분해 가능 확대 $L/K$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $L/K$는 정규 확대이다.
• $L$은 어떤 기약 다항식 $p\in K[x]$의 분해체 $K[x]/(p)$와 동형이다.

대수적 확대 $L/K$의 정규 폐포 $N/L$에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

• $L/K$가 유한 확대라면, $N/K$ 역시 유한 확대이다.
• $L/K$가 분해 가능 확대라면, $N/K$은 갈루아 확대이다. 이 경우 $N/L$을 $L/K$의 갈루아 폐포(영어: Galois closure)라고 한다.

체의 확대의 탑 $M/L/K$에 대하여, 만약 $M/K$가 정규 확대라면, $M/L$ 역시 정규 확대이다. 체의 확대의 다이아몬드 $M\supseteq L,L'\supseteq K$에 대하여, 만약 $L/K$가 정규 확대라면, $K(L\cup L')/L'$ 역시 정규 확대이다. 체의 확대 $M/K$의 부분 확대 $M\supseteq L_{i}\supseteq K$($i\in I$)들에 대하여, 만약 모든 $L_{i}/K$가 정규 확대라면, $\textstyle K\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)/K$와 $\textstyle \bigcap _{i\in I}L_{i}/K$ 역시 정규 확대이다. 정규 확대의 정규 확대는 정규 확대일 필요가 없다. 예를 들어, 대수적 확대 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{4}]{2}})/\mathbb {Q}$는 두 번의 정규 확대

$\mathbb {Q} ({\sqrt[{4}]{2}})/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$

로 얻어지지만, $x^{4}-2$의 허근들을 포함하지 않으므로 정규 확대가 아니다.

예

대수적 확대 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$는 정규 확대이다.

대수적 확대 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})/\mathbb {Q}$는 정규 확대가 아니다. $\mathbb {Q} [x]$의 기약 다항식 $x^{3}-2$는 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$에서

$x^{3}-2=(x-{\sqrt[{3}]{2}})\left(x^{2}+{\sqrt[{3}]{2}}x+({\sqrt[{3}]{2}})^{2}\right)$

이므로 하나의 근을 갖지만 완전히 인수분해되지 않는다.

모든 갈루아 확대는 정규 확대이다. 모든 순수 비분해 확대는 정규 확대이다.

같이 보기

• 갈루아 확대

참고 문헌

• Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Normal extension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Normal extension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.