원분체

대수적 수론에서 원분체(圓分體, 영어: cyclotomic field)는 유리수체에 1의 거듭제곱근을 첨가하여 얻는 대수적 수체이다.

정의

$n\geq 3$ 이 3 이상의 정수이며, $n\not \equiv 2{\pmod {4}}$ 라고 하자. n차 원분체는 $\zeta _{n}^{n}=1$ 을 만족시키는 원소 $\zeta _{n}$ 을 첨가한, 유리수체의 확대 $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ 이다.

성질

원분체 $\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q}$ 는 갈루아 확대이며, 차수는 오일러 피 함수에 의하여 주어진다.

[\mathbb {Q} (\zeta _{n}):\mathbb {Q} ]=\phi (n)

원분체의 갈루아 군은 $\mathbb {Z} /(n)$ 의 가역원군

\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /(n))^{\times }

이며, 이 동형은 구체적으로

[k]\colon \sum _{i=0}^{\phi (n)-1}a_{i}\zeta _{n}^{i}\mapsto \sum _{i=0}^{\phi (n)-1}a_{i}\zeta _{n}^{ki}

이다.

유수

원분체 $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ 가운데, 그 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역인 것(유수가 1인 것)은 총 30개가 있으며, 다음과 같다.

n\in \{1,\dots ,21,24,25,27,28,32,33,35,36,40,44,45,48,60,84\}

(OEIS의 수열 A5848)

유수가 1이 아닌 원분체의 유수들은 다음과 같다 ( $n\leq 99$ , $n\not \equiv 2{\pmod {4}}$ ). (OEIS의 수열 A61653)

n	유수	n	유수	n	유수	n	유수
23	3	29	8	31	9	37	37
39	2	41	121	43	211	47	695
49	43	51	5	52	3	53	4889
55	10	56	2	57	9	59	41241
61	76301	63	7	64	17	65	64
67	853513	68	8	69	69	71	3882809
72	3	73	11957417	75	11	76	19
77	1280	79	100146415	80	5	81	2593
83	838216959	85	6205	87	1536	88	55
89	13379363737	91	53872	92	201	93	6795
95	107692	96	9	97	411322842001	99	2883

소수의 분기화

$\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q}$ 에서 분기하는 소수는 $n$ 의 소인수들이다. 만약

n=\prod _{p}p^{n_{p}}

라면 $n_{p}>0$ , $\mathbb {Z}$ 의 소 아이디얼 $(p)$ 는 ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ 에서 $\phi (p^{n_{p}})$ 제곱 아이디얼로 분해된다. 즉,

(p)=({\mathfrak {P}}_{1}\cdots {\mathfrak {P}}_{s})^{\phi (p^{n_{p}})}

인 서로 다른 소 아이디얼들 ${\mathfrak {P}}_{1},\dots ,{\mathfrak {P}}_{s}\subset {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ 이 존재한다.

참고 문헌

Washington, Lawrence C. (1982). 《Introduction to Cyclotomic Fields》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 83. Springer. ISBN 0-387-90622-3.
Lang, Serge (1990). 《Cyclotomic Fields I and II (1·2권 합본)》 2판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 121. Springer. ISBN 0-387-96671-4.
Coates, John; Sujatha Ramdorai (2006). 《Cyclotomic fields and zeta values》 (영어). Springer Monographs in Mathematics. Springer. ISBN 3-540-33068-2. Zbl 1100.11002.

같이 보기

이차 수체