대수적 수론에서 원분체(圓分體, 영어: cyclotomic field)는 유리수체에 1의 거듭제곱근을 첨가하여 얻는 대수적 수체이다.
이 3 이상의 정수이며, 라고 하자. n차 원분체는 을 만족시키는 원소 을 첨가한, 유리수체의 확대 이다.
원분체 는 갈루아 확대이며, 차수는 오일러 피 함수에 의하여 주어진다.
원분체의 갈루아 군은 의 가역원군
이며, 이 동형은 구체적으로
이다.
원분체 가운데, 그 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역인 것(유수가 1인 것)은 총 30개가 있으며, 다음과 같다.
- (OEIS의 수열 A5848)
유수가 1이 아닌 원분체의 유수들은 다음과 같다 (, ). (OEIS의 수열 A61653)
n |
유수
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n |
유수
|
n |
유수
|
n |
유수
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23
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3
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29
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8
|
31
|
9
|
37
|
37
|
39
|
2
|
41
|
121
|
43
|
211
|
47
|
695
|
49
|
43
|
51
|
5
|
52
|
3
|
53
|
4889
|
55
|
10
|
56
|
2
|
57
|
9
|
59
|
41241
|
61
|
76301
|
63
|
7
|
64
|
17
|
65
|
64
|
67
|
853513
|
68
|
8
|
69
|
69
|
71
|
3882809
|
72
|
3
|
73
|
11957417
|
75
|
11
|
76
|
19
|
77
|
1280
|
79
|
100146415
|
80
|
5
|
81
|
2593
|
83
|
838216959
|
85
|
6205
|
87
|
1536
|
88
|
55
|
89
|
13379363737
|
91
|
53872
|
92
|
201
|
93
|
6795
|
95
|
107692
|
96
|
9
|
97
|
411322842001
|
99
|
2883
|
소수의 분기화[편집]
에서 분기하는 소수는 의 소인수들이다. 만약
라면 , 의 소 아이디얼 는 에서 제곱 아이디얼로 분해된다. 즉,
인 서로 다른 소 아이디얼들 이 존재한다.
참고 문헌[편집]
- Washington, Lawrence C. (1982). 《Introduction to Cyclotomic Fields》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 83. Springer. ISBN 0-387-90622-3.
- Lang, Serge (1990). 《Cyclotomic Fields I and II (1·2권 합본)》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 121 2판. Springer. ISBN 0-387-96671-4.
- Coates, John; Sujatha Ramdorai (2006). 《Cyclotomic fields and zeta values》. Springer Monographs in Mathematics (영어). Springer. ISBN 3-540-33068-2. Zbl 1100.11002.
같이 보기[편집]