아델 환

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대수적 수론에서, 아델 환(영어: adèle ring)은 유리수체의 모든 완비화를 대칭적으로 포함하는 위상환이다. 아델 환의 원소를 아델(영어: adèle)이라고 한다.

정의[편집]

정수환 \mathbb Z사유한 완비 \hat{\mathbb Z}는 다음과 같다.

\hat{\mathbb Z}\stackrel{\text{def}}=\varprojlim\mathbb Z/n=\prod_p\mathbb Z_p

여기서 후자 (모든 p진 정수환들의 곱)는 중국인의 나머지 정리에 의한 것이다.

정수 아델 환(영어: ring of integral adèles) \mathbb A_{\mathbb Z}는 다음과 같다.

\mathbb A_{\mathbb Z}=\mathbb R\times\hat{\mathbb Z}

대수적 수체 K에 대한 아델 환 \mathbb A_K는 다음과 같다.

\mathbb A_K=F\otimes_{\mathbb Z}\mathbb A_{\mathbb Z}

체를 언급하지 않고 그냥 "아델 환"이라고 하면, 유리수체 \mathbb Q에 대한 이델 환 \mathbb A_{\mathbb Q}를 의미한다. 유리 아델 환은 다음과 같이 정의할 수도 있다.

\mathbb A_{\mathbb Q}=\mathbb R\times\prod_p'\mathbb Q_p

여기서 \mathbb Q_pp진수체이고, \prod'는 다음과 같이 정의된, 제약된 곱을 의미한다. \mathbb A_{\mathbb Q}의 원소 (a_\infty,a_2,a_3,a_5,\dots) 가운데, 유한개의 원소를 제외한 나머지는 모두 p진 정수이어야 한다.

이델 군[편집]

아델 환의 가역원들의 이델 군(영어: idèle group)이라고 한다. 이델 군에 주어지는 위상은 부분공간 위상이 아님에 주의하자.

대역체 K의 이델 군 I(K)의 경우, 가역원군 K^\times로부터 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

i\colon K^\times\to I(K)
i\colon a\mapsto(a,a,a,\dots)\in\prod_p'K_p^\times

이 준동형의 주 이델(영어: principal idèle)이라고 한다. 이델 군의 주 이델 부분군에 대한 몫군이델류군(idèle類群, 영어: idèle class group)이라고 한다.

어원[편집]

"아델"(프랑스어: adèle)은 프랑스어에서 여성 이름이다. "아델 환"이라는 이름은 앙드레 베유가 "가법(加法) 이델"(프랑스어: idèle additif 이델 아디티프[*])을 축소시켜 고안하였다.[1]:357

"이델"(프랑스어: idèle)의 개념은 클로드 슈발레가 1936년 "아이디얼 원소"(프랑스어: élément idéal 엘레망티데알[*])이라는 이름으로 도입하였고,[2] 1940년 프랑스어: idéle 이델[*]로 축약하였다.[3]

참고 문헌[편집]

  1. Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》 (영어). Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 322. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021. 
  2. Chevalley, Claude (1936). “Généralisation de la théorie du corps de classes pour les extensions infinies” (프랑스어). 《Journal de Mathématiques Pures et Appliquées》 15: 359–371. JFM 62.1153.02. 
  3. Chevalley, Claude (1940). “La théorie du corps de classes” (프랑스어). 《Annals of Mathematics (2nd series)》 41: 394–418. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969013. MR 0002357. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]