아델 환

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유체론에서, 아델 환(adèle環, 영어: adèle ring)은 유리수체나 다른 대수적 수체의 모든 완비화를 대칭적으로 포함하는 위상환이다. 아델 환의 원소를 아델(영어: adèle)이라고 한다.

정의[편집]

정수 아델 환[편집]

정수환 \mathbb Z사유한 완비 \hat{\mathbb Z}는 다음과 같다.

\hat{\mathbb Z}\stackrel{\text{def}}=\varprojlim\mathbb Z/n=\prod_p\mathbb Z_p

여기서 후자 (모든 p진 정수환들의 곱)는 중국인의 나머지 정리에 의한 것이다.

정수 아델 환(영어: ring of integral adèles) \mathbb A_{\mathbb Z}는 다음과 같다.

\mathbb A_{\mathbb Z}=\mathbb R\times\hat{\mathbb Z}

대역체의 이델 환[편집]

대역체 K의 아델 환은 다음과 같다.[1]:357

\mathbb A_K=\prod_v'K_v

여기서 K_v는 자리 v에 대한 완비화 국소체이며, \prod_v'는 모든 자리에 대한 제약된 곱이다. 여기서 "제약된 곱"이란 다음 조건을 말한다.

\forall a\in\mathbb A_K\colon\{v\colon v(a_v)>0\}<\aleph_0

즉, 유한 개의 원소들을 제외한 나머지는 모두 국소체의 대수적 정수환에 속해야 한다.

만약 K대수적 수체 K인 경우, 아델 환은 다음과 같이 정수 아델 환으로 나탈 수도 있다.

\mathbb A_K=K\otimes_{\mathbb Z}\mathbb A_{\mathbb Z}

예를 들어, 유리 아델 환은 다음과 같다.

\mathbb A_{\mathbb Q}=\mathbb R\times\prod_p'\mathbb Q_p

여기서 \mathbb Q_pp진수체이고, \prod'는 다음과 같이 정의된, 제약된 곱을 의미한다. \mathbb A_{\mathbb Q}의 원소 (a_\infty,a_2,a_3,a_5,\dots) 가운데, 유한개의 원소를 제외한 나머지는 모두 p진 정수이어야 한다.

성질[편집]

수체 K에 대하여, 아델 환 \mathbb A_K의 덧셈군은 국소 콤팩트 위상군이다. 이 아벨 군의 폰트랴긴 쌍대군은 스스로와 동형이다.

이델 군[편집]

아델 환 \mathbb A_K가역원들의 I(K)이델 군(idèle群, 영어: idèle group)이라고 한다.[1]:357 이 경우, 부분 공간 위상을 주면 곱셈 연산이 연속적이지 않아 위상군이 될 수 없으며, 따라서 대신 다음과 같은 위상을 준다.[1]:361 우선, 아델 환의 곱집합 \mathbb A\times\mathbb A곱공간 위상을 주자. 이델 군 I(K)는 그 속에 다음과 같은 부분 집합을 이룬다.

\iota\colon I(K)\hookrightarrow\mathbb A_K\times\mathbb A_K
\iota\colon x\mapsto(x,x^{-1})

이 매장에 대하여 부분 공간 위상을 주면, I(K)는 위상군을 이룬다.

대역체 K의 이델 군 I(K)의 경우, 가역원군 K^\times로부터 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

i\colon K^\times\to I(K)
i\colon a\mapsto(a,a,a,\dots)\in\prod_p'K_p^\times

이 준동형의 주 이델(영어: principal idèle)이라고 한다.[1]:359, Definition VI.1.2 이델 군의 주 이델 부분군에 대한 몫군이델 유군(idèle類群, 영어: idèle class group)이라고 한다.[1]:359, Definition VI.1.2

성질[편집]

이델 군은 국소 콤팩트 위상군을 이룬다.[1]:361, Proposition IV.1.5

역사[편집]

"이델"(프랑스어: idèle)의 개념은 클로드 슈발레가 도입하였다.[1]:357 슈발레는 이를 1936년에 "아이디얼 원소"(프랑스어: élément idéal 엘레망티데알[*])이라는 이름으로 도입하였고,[2] 1940년에는 헬무트 하세의 의견을 따라 프랑스어: idèle 이델[*]로 축약하였다.[3] 이는 "아이디얼 원소"를 "id.el."로 축약한 것을 그대로 읽은 것이다.[1]:357

앙드레 베유는 1938년에 함수체의 아델 환을 정의하였지만 명명하지 않았다.[4] 이후 존 테이트는 이를 "값매김 벡터"(영어: valuation vector)라고 불렸고,[5] 클로드 슈발레는 이를 재분배(영어: repartition)라고 불렀다.[6] "아델"이라는 이름은 1954년에 문헌에 등장하기 시작하며,[7] 아마 앙드레 베유가 지어낸 것으로 추측된다. "아델"(프랑스어: adèle)은 프랑스어에서 여성 이름이며, "덧셈적 이델"(프랑스어: idèle additif 이델 아디티프[*])을 줄인 것이다.[1]:357

참고 문헌[편집]

  1. Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》 (영어). Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 322. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021. 
  2. Chevalley, Claude (1936). “Généralisation de la théorie du corps de classes pour les extensions infinies” (프랑스어). 《Journal de Mathématiques Pures et Appliquées》 15: 359–371. JFM 62.1153.02. 
  3. Chevalley, Claude (1940). “La théorie du corps de classes” (프랑스어). 《Annals of Mathematics (2nd series)》 41: 394–418. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969013. MR 0002357. 
  4. Weil, André (1938). “Zur algebraischen Theorie der algebraischen Funktionen” (독일어). 《Journal für Reine und Angewandte Mathematik》 179: 129–133. doi:10.1515/crll.1938.179.129. ISSN 0075-4102. 
  5. Tate, John T. (1950). 〈Fourier analysis in number fields, and Hecke's zeta-functions〉. 《Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965)》 (영어). Thompson, Washington, D.C. 305–347쪽. ISBN 978-0-9502734-2-6. MR 0217026. 
  6. Chevalley, Claude (1951). 《Introduction to the theory of algebraic functions of one variable》 (영어). Mathematical Surveys 6. American Mathematical Society. MR 0042164. 
  7. Jaffard, Paul (1954년 12월). “Anneaux d’adèles (d’après Iwasawa)” (프랑스어). 《Séminaire Bourbaki》 3 (103): 23–33. MR 1611369. Zbl 0138.03301. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]