아델 환

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대수적 수론에서, 아델 환(영어: adèle ring)은 유리수체의 모든 완비화를 대칭적으로 포함하는 위상환이다. 아델 환의 원소를 아델(영어: adèle)이라고 한다.

정의[편집]

정수환 \mathbb Z사유한 완비 \hat{\mathbb Z}는 다음과 같다.

\hat{\mathbb Z}\stackrel{\text{def}}=\varprojlim\mathbb Z/n=\prod_p\mathbb Z_p

여기서 후자 (모든 p진 정수환들의 곱)는 중국인의 나머지 정리에 의한 것이다.

정수 아델 환(영어: ring of integral adèles) \mathbb A_{\mathbb Z}는 다음과 같다.

\mathbb A_{\mathbb Z}=\mathbb R\times\hat{\mathbb Z}

대수적 수체 K에 대한 아델 환 \mathbb A_K는 다음과 같다.

\mathbb A_K=F\otimes_{\mathbb Z}\mathbb A_{\mathbb Z}

체를 언급하지 않고 그냥 "아델 환"이라고 하면, 유리수체 \mathbb Q에 대한 이델 환 \mathbb A_{\mathbb Q}를 의미한다. 유리 아델 환은 다음과 같이 정의할 수도 있다.

\mathbb A_{\mathbb Q}=\mathbb R\times\prod_p'\mathbb Q_p

여기서 \mathbb Q_pp진수체이고, \prod'는 다음과 같이 정의된, 제약된 곱을 의미한다. \mathbb A_{\mathbb Q}의 원소 (a_\infty,a_2,a_3,a_5,\dots) 가운데, 유한개의 원소를 제외한 나머지는 모두 p진 정수이어야 한다.

이델 군[편집]

아델 환의 가역원들의 이델 군(영어: idèle group)이라고 한다. 이델 군에 주어지는 위상은 부분공간 위상이 아님에 주의하자.

어원[편집]

"아델"(프랑스어: adèle)은 프랑스어에서 여성 이름이다. "아델 환"이라는 이름은 앙드레 베유프랑스어: idèle additif(가법(加法) 이델)를 축소시켜 고안하였다.[1]:357

"이델"(프랑스어: idèle)의 개념은 클로드 슈발레가 1936년 프랑스어: élément idéal 엘레망티데알[*]이라는 이름으로 도입하였고,[2] 1940년 프랑스어: idéle 이델[*]로 축약하였다.[3]

참고 문헌[편집]

  1. Neukirch, Jürgen (1999년). 《Algebraic Number Theory》, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 322. Springer
  2. (프랑스어) Chevalley, Claude (1936년). Généralisation de la théorie du corps de classes pour les extensions infinies. 《Journal de Mathématiques Pures et Appliquées》 15: 359–371. JFM 62.1153.02.
  3. (프랑스어) Chevalley, Claude (1940년). La théorie du corps de classes. 《Annals of Mathematics (2nd series)》 41: 394–418. MR0002357. ISSN 0003-486X.

바깥 고리[편집]