반직선 유군

유체론에서 반직선 유군(半直線類群, 영어: ray class group)은 임의의 모듈러스에 대한, 아이디얼 유군의 일반화이다. 대수적 수체의 아벨 확대에서의 분기화 현상을 나타낸다.

정의

대수적 수체 $K$ 위의 모듈러스 ${\mathfrak {m}}$이 주어졌다고 하자. $K$의 ${\mathfrak {m}}$에 대한 반직선(영어: ray)은

$K_{{\mathfrak {m}},1}=\{a\in K^{\times }\colon a\equiv 1{\pmod {\mathfrak {m}}}\}$

이다. 이는 곱셈에 대하여 아벨 군을 이룬다.

$I^{\mathfrak {m}}$이 ${\mathfrak {m}}$과 서로소인 소 아이디얼들로 생성되는 분수 아이디얼들의 아벨 군이라고 하자. 즉,

${\mathfrak {a}}/{\mathfrak {b}}\qquad ({\mathfrak {p}}\mid {\mathfrak {m}}\implies {\mathfrak {p}}\nmid {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}})$

의 꼴의 분수 아이디얼들로 구성된 아벨 군이다. 주 아이디얼 사상 $i\colon a\mapsto (a)$은 군 준동형

$i\colon K_{{\mathfrak {m}},1}\to I^{\mathfrak {m}}$

을 정의한다. $K$의 $M$에 대한 반직선 유군은 몫군

$\operatorname {Cl} {\mathcal {o}}_{\mathfrak {m}}=I^{\mathfrak {m}}/i(K_{\mathfrak {m}})$

이며, 반직선류(半直線類, 영어: ray class)는 반직선 유군의 원소이다.

이델 유군과의 관계

대수적 수체 $K$ 및 그 모듈러스 ${\mathfrak {m}}$에 대하여, 이델 군 $\mathbb {A} _{K}^{\times }$의 다음과 같은 부분군을 생각하자.

$U_{\mathfrak {m}}=\prod _{p}U_{p}$

여기서

• $p$가 복소 자리라면, $U_{p}=\mathbb {C} ^{\times }$
• $p$가 실수 자리이며 $p\in {\mathfrak {m}}_{\infty }$라면, $U_{p}=\mathbb {R} ^{+}$
• $p$가 실수 자리이며 $p\not \in {\mathfrak {m}}_{\infty }$라면, $U_{p}=\mathbb {R} ^{\times }$
• $p$가 유한 자리이며 $p\nmid {\mathfrak {m}}_{0}$라면, $U_{p}={\mathcal {o}}_{K_{p}}^{\times }$ ($K_{p}$는 $K$의 $p$에서의 완비화)
• $p$가 유한 자리이며 $p^{n}\mid {\mathfrak {m}}_{0}$이지만 $p^{n+1}\nmid {\mathfrak {m}}_{0}$라면, $U_{p}=1+{\mathfrak {p}}^{n}\subset {\mathcal {o}}_{K_{p}}^{\times }$ (${\mathfrak {p}}$는 이산 값매김환 ${\mathcal {o}}_{K_{p}}$의 유일한 극대 아이디얼)

이델 유군 $C_{K}$는 대각 사상 $i\colon K^{\times }\hookrightarrow \mathbb {A} _{K}^{\times }$의 상에 대한 몫군 $C_{K}=\mathbb {A} _{K}^{\times }/i(K^{\times })$인데, $U_{\mathfrak {m}}'=i(U_{\mathfrak {m}})$이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 표준적인 군 동형이 존재한다.

$\operatorname {Cl} _{\mathfrak {m}}{\mathcal {o}}_{K}\cong C_{K}/U_{\mathfrak {m}}'$

예

대수적 수체 $K$에 대하여, 자명한 모듈러스 ${\mathfrak {m}}=1$에 대한 반직선류군은 아이디얼 유군 $\operatorname {Cl} {\mathcal {o}}_{K}$이다.

유리수체 $\mathbb {Q}$ 및 양의 정수 $m$에 대하여, 유한 모듈러스 $(m)$에 대한 반직선류군은 가역원군의 몫군

$\operatorname {Cl} _{(m)}\mathbb {Z} \cong (\mathbb {Z} /(m))^{\times }/\{\pm 1\}$

이며, 모듈러스 $(m)\infty$에 대한 반직선류군은 가역원군

$\operatorname {Cl} _{(m)\infty }\mathbb {Z} \cong (\mathbb {Z} /(m))^{\times }$

이다.

참고 문헌

• Cohn, Harvey (1985). 《Introduction to the construction of class fields》. Cambridge studies in advanced mathematics (영어) 6. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-24762-7. 

외부 링크

• “Modulus in algebraic number theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 

같이 보기

• 모듈러스 (수론)
• 아이디얼 유군
• 이델 유군