분수 아이디얼

가환대수학과 대수적 수론에서 분수 아이디얼(分數ideal, 영어: fractional ideal)은 분모가 허용되는, 아이디얼의 일반화이다. 아이디얼 유군을 정의할 때 사용된다.

정의

분수 아이디얼

가환환 $R$ 가 주어졌다고 하고, 그 전분수환을 $\operatorname {Frac} (R)$ 라고 하자. $R$ 의 분수 아이디얼 ${\mathfrak {I}}\subseteq \operatorname {Frac} R$ 는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다.

${\mathfrak {I}}$ ${\mathfrak {I}}$ 는 $R$ $R$ 에 대한 가군을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
- $I$ 는 덧셈에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 $a,b\in {\mathfrak {I}}$ 에 대하여, $a+b\in {\mathfrak {I}}$ 이다.
- 임의의 $r\in R$ 및 $a\in {\mathfrak {I}}$ 에 대하여, $ra\in {\mathfrak {I}}$ 이다.
$r{\mathfrak {I}}\subseteq R$ 인 $r\in R$ 가 존재한다.

두 분수 아이디얼 ${\mathfrak {I}},{\mathfrak {J}}$ 의 곱은 다음과 같다.

{\mathfrak {I}}{\mathfrak {J}}=\left\{a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\colon a_{1},\dots ,a_{n}\in {\mathfrak {I}},\;b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\in {\mathfrak {J}},\;n\in \mathbb {N} \right\}

이는 결합 법칙과 교환 법칙을 만족시키며, $R$ 는 곱셈에 대한 항등원을 이룬다 ( ${\mathfrak {I}}R=R{\mathfrak {I}}={\mathfrak {I}}$ ). 따라서, 정역 $R$ 의 분수 아이디얼들의 집합 $\operatorname {FracIdeal} (R)$ 은 곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다.

분수 아이디얼들의 가환 모노이드의 가역원을 가역 분수 아이디얼(영어: invertible fractional ideal)이라고 하며, 가역 분수 아이디얼들은 아벨 군 $\operatorname {FracIdeal} (R)^{\times }\subsetneq \operatorname {FracIdeal} (R)$ 을 이룬다.

두 분수 아이디얼 ${\mathfrak {I}},{\mathfrak {J}}\subseteq \operatorname {Frac} R$ 의 합

{\mathfrak {I}}+{\mathfrak {J}}=\{a+b\colon a\in {\mathfrak {I}},b\in {\mathfrak {J}}\}

역시 분수 아이디얼을 이룬다. (이는 만약 $r,s\in R$ 에 대하여 $r{\mathfrak {I}},s{\mathfrak {J}}\subseteq R$ 라면 $rs({\mathfrak {I}}+{\mathfrak {J}})\subseteq R$ 이기 때문이다.) 이는 결합 법칙과 교환 법칙을 만족시키며, 영 아이디얼 $\{0\}$ 은 그 항등원을 이룬다. 또한, 곱셈에 대하여 분배 법칙 역시 성립하므로, $\operatorname {FracIdeal} (R)$ 는 반환을 이룬다.

유한 또는 무한 개의 분수 아이디얼들 $({\mathfrak {I}}_{i})_{i\in I}$ 의 교집합

\bigcap _{i\in I}{\mathfrak {I}}

역시 분수 아이디얼을 이룬다. 그러나 ( $\operatorname {Frac} R$ 자체는 일반적으로 분수 아이디얼이 아니므로) 이 연산은 일반적으로 항등원을 갖지 않는다.

주 분수 아이디얼

다음과 같은 곱셈 모노이드 준동형이 존재한다.

(\operatorname {Frac} R,\times )\to (\operatorname {FracIdeal} (R),\times )

a\mapsto Ra=\{ra\colon r\in R\}

(Ra)(Rb)=R(ab)\qquad \forall a,b\in R

그러나 일반적으로 $Ra+Rb\neq R(a+b)$ 이므로 이는 반환의 준동형을 이루지 못한다.

$R$ 의 주 분수 아이디얼(主分數ideal, 영어: principal fractional ideal)의 집합 $\operatorname {PrFracIdeal} (R)\subseteq \operatorname {FracIdeal} (R)$ 은 이 모노이드 준동형의 치역이다. 즉, 주 분수 아이디얼은 $Ra$ 의 꼴로 나타낼 수 있는 분수 아이디얼이다.

이 모노이드 준동형의 핵은 다음과 같다.

Ra=Rb\iff \exists u\in R^{\times }\colon a=ub

즉, 다음과 같다.

\operatorname {PrFracIdeal} (R)^{\times }\cong {\frac {\operatorname {Frac} (R)^{\times }}{R^{\times }}}

인자 아이디얼

$\operatorname {Frac} R$ 의 $R$ -부분 가군 ${\mathfrak {I}}$ 에 대하여, 다음 기호를 정의하자.

(R:{\mathfrak {I}})=\{a\in \operatorname {Frac} R\colon a{\mathfrak {I}}\subseteq R\}

즉, $(R:(R:{\mathfrak {I}}))$ 는 ${\mathfrak {I}}$ 를 부분 집합으로 포함하는 모든 주 분수 아이디얼들의 교집합이다.

만약 분수 아이디얼 ${\mathfrak {I}}$ 가

{\mathfrak {I}}=(R:(R:{\mathfrak {I}}))

를 만족시킨다면, ${\mathfrak {I}}$ 를 인자 아이디얼(因子ideal, 영어: divisorial ideal)이라고 한다. 그 집합을 $\operatorname {DivIdeal} (R)$ 로 표기하자.

$\operatorname {DivIdeal} (R)$ 위에 다음과 같은 곱을 정의할 수 있다.

{\mathfrak {I}}\cdot {\mathfrak {J}}=(R:(R:{\mathfrak {I}}{\mathfrak {J}}))

이 곱에 대하여 $\operatorname {DivIdeal} (R)$ 는 가환 모노이드를 이룬다. 만약 $R$ 가 뇌터 정수적으로 닫힌 정역의 경우 이는 아벨 군을 이루며, 이 경우 $I$ 의 역원은 $(R:I)$ 이다.

$a\in (\operatorname {Frac} R)^{\times }$ 에 대하여 $(R:Ra)=Ra^{-1}$ 이므로, 모든 가역 주 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이다. 보다 일반적으로, 모든 가역 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이며, 이 경우 $(R:{\mathfrak {I}})={\mathfrak {I}}^{-1}$ 이다.