아이디얼 노름

대수적 수론에서 아이디얼 노름(영어: ideal norm)은 임의의 분수 아이디얼에 대하여 정의되는, 체 노름의 일반화이다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

데데킨트 정역 $R$
$R$ 의 분수체 $K=\operatorname {Frac} R$ 의 유한 분해 가능 확대 $L/K$

그렇다면, 크룰-아키즈키 정리에 의하여 $R$ 의 $L$ 속의 정수적 폐포 $R\subseteq S\subseteq K$ 역시 데데킨트 정역을 이룬다.

그렇다면, 상대 아이디얼 노름(영어: relative ideal norm)은 다음과 같은 꼴의 모노이드 준동형이다.

\operatorname {N} _{S/R}\colon \operatorname {FracIdeal} (S)\to \operatorname {FracIdeal} (R)

여기서 $\operatorname {FracIdeal} (-)$ 은 (영 아이디얼을 포함하는) 모든 분수 아이디얼들로 구성된 곱셈 모노이드이다. 이는 상대 아이디얼 노름이 만족시키는 성질들로부터 공리적으로 정의할 수 있으며, 체 노름을 사용하여 구체적으로도 정의할 수 있다.

공리적 정의

상대 아이디얼 노름 $\operatorname {N} _{S/R}\colon \operatorname {FracIdeal} (S)\to \operatorname {FracIdeal} (R)$ 은 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 모노이드 준동형이다.^[1]^{:Proposition 1.5.14}

$\operatorname {N} _{S/R}((0)_{S})=(0)_{R}$ . 여기서 $(0)$ 은 영 아이디얼이다.
임의의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼 ${\mathfrak {q}}\subseteq S$ 및 ${\mathfrak {p}}\subseteq R$ 에 대하여, 만약 ${\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}$ 라면,
$\operatorname {N} _{S/R}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {p}}^{[S/{\mathfrak {q}}:R/{\mathfrak {p}}]}$

여기서 $[S/{\mathfrak {q}}:R/{\mathfrak {p}}]$ 는 (덧셈군으로서) 부분군의 지표를 뜻한다. 여기서 ${\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}$ 라는 것은 분기화에 대하여 ${\mathfrak {q}}$ 가 ${\mathfrak {p}}$ 위에 있다는 것을 뜻한다. 즉, ${\mathfrak {p}}$ 를 $S$ 에서 소인수 분해하면 ${\mathfrak {q}}$ 는 그 소인수 가운데 하나이다.

체 노름을 통한 정의

아이디얼 노름은 체 노름을 통해서도 정의할 수 있다.^[2]^{:Proposition I.8.2}^[3]^{:25, §4} 분수 아이디얼 ${\mathfrak {A}}\in \operatorname {FracIdeal} S$ 의 아이디얼 노름 $\operatorname {N} _{S/R}({\mathfrak {A}})\in \operatorname {FracIdeal} R$ 은 다음과 같은 분수 아이디얼이다.

\operatorname {N} _{S/R}({\mathfrak {A}})=\{r_{1}\operatorname {N} _{L/K}(a_{1})+r_{2}\operatorname {N} _{L/K}(a_{1})+\cdots +r_{n}\operatorname {N} _{L/K}(a_{n})\colon n\in \mathbb {N} ,\;a_{1},\dots ,a_{n}\in {\mathfrak {A}},\;r_{1},\dots ,r_{n}\in R\}\in \operatorname {FracIdeal} (R)

즉, $\operatorname {N} _{L/K}$ 아래 ${\mathfrak {A}}$ 의 상으로 생성되는 분수 아이디얼이다. 여기서 $\operatorname {N} _{L/K}$ 는 체의 확대 $L/K$ 에 대한 체 노름이다.

절대 아이디얼 노름

대수적 수체 $L/\mathbb {Q}$ 이 주어졌을 때, $K=\mathbb {Q}$ , $S={\mathcal {O}}_{L}$ , $R=\mathbb {Z}$ 로 놓으면 위 조건이 성립한다. 이 경우, ( $\mathbb {Z}$ 는 주 아이디얼 정역이므로) $\operatorname {FracIdeal} (\mathbb {Z} )$ 은 음이 아닌 유리수의 곱셈 모노이드 $\mathbb {Q} _{\geq 0}$ 로 여길 수 있다. 따라서 아이디얼 노름은 모노이드 준동형

\operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }\colon \operatorname {FracIdeal} ({\mathcal {O}}_{L})\to \mathbb {Q} _{\geq 0}

을 정의하며, 절대 아이디얼 노름이라고 한다.

절대 아이디얼 노름은 다음과 같이 직접적으로 정의할 수 있다. 대수적 수체 $L/\mathbb {Q}$ 의 대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{L}$ 의 아이디얼 ${\mathfrak {a}}$ 의 절대 아이디얼 노름은 다음과 같다.^[4]^{:34, §I.6}

\operatorname {N} _{L}({\mathfrak {a}})={\begin{cases}|{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {a}}|\\0&{\mathfrak {a}}=(0)\end{cases}}

즉, 만약 ${\mathfrak {a}}$ 가 영 아이디얼이 아니라면 몫환 ${\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {a}}$ 의 집합의 크기이다. 이는 곱셈 연산을 보존하므로, 다음과 같은 모노이드 준동형을 이룬다.

\operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }\colon \operatorname {Ideal} ({\mathcal {O}}_{L})\to \mathbb {N}

\operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }({\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}})=\operatorname {N} _{L}({\mathfrak {a}})\operatorname {N} _{K}({\mathfrak {b}})

\operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }({\mathcal {O}}_{L})=1

여기서 $\operatorname {Ideal} ({\mathcal {O}}_{L})$ 은 ${\mathcal {O}}_{L}$ 의 아이디얼들의 곱셈 모노이드이며, $\mathbb {N}$ 은 자연수(음이 아닌 정수)들의 곱셈 모노이드이다.

보다 일반적으로, ${\mathcal {O}}_{L}$ -아이디얼의 절대 아이디얼 노름은 ${\mathcal {O}}_{L}$ -분수 아이디얼로 다음과 같이 일반화할 수 있다.

\operatorname {N} _{L}({\mathfrak {a}}/b)=\operatorname {N} _{L}(\operatorname {a} )/\operatorname {N} _{L}((b))\qquad \left({\mathfrak {a}}/b\in \operatorname {FracIdeal} ({\mathcal {O}}_{L}),\;b\in {\mathcal {O}}_{L}\right)

(여기서 $(b)$ 는 $b$ 로 생성되는 주 아이디얼이다.) 이는 다음과 같은 모노이드 준동형을 이룬다.

\operatorname {N} _{L}\colon \operatorname {FracIdeal} ({\mathcal {O}}_{L})\to \mathbb {Q} _{\geq 0}

여기서

$\operatorname {FracIdeal} ({\mathcal {O}}_{L})$ 은 (영 분수 아이디얼을 포함하는) ${\mathcal {O}}_{L}$ 의 분수 아이디얼들의 곱셈 모노이드이다.
$\mathbb {Q} _{\geq 0}$ 는 음이 아닌 유리수들의 곱셈 모노이드이다.

아라켈로프 인자의 아이디얼 노름

대수적 수체 $L$ 의 무한 또는 유한 자리 ${\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}$ ( ${\mathfrak {p}}\in \{2,3,5,7,\dots ,\infty \}$ )에 대하여 다음을 정의하자.

$\kappa ({\mathfrak {q}})$ 는 값매김환 ${\mathcal {O}}_{L_{\mathfrak {q}}}$ 의 잉여류체이다. (만약 ${\mathfrak {q}}$ 가 무한 위치라면 ${\mathcal {O}}_{L_{\mathfrak {q}}}=L_{\mathfrak {q}}$ 이다.) 마찬가지로 $\kappa ({\mathfrak {p}})$ 는 값매김환 ${\mathcal {O}}_{K_{\mathcal {p}}}$ 의 잉여류체이다.
$f_{\mathfrak {p}}=[\kappa ({\mathfrak {q}}):\kappa ({\mathfrak {p}})]$ 는 분기화 $S/R$ 에 대한 ${\mathfrak {q}}$ 의 관성 차수이다.

그렇다면 다음을 정의할 수 있다.

\operatorname {N} ({\mathfrak {q}})={\begin{cases}{\mathfrak {q}}^{\nu ({\mathfrak {q}})}&{\mathfrak {q}}\nmid \infty \\\mathrm {e} ^{\nu ({\mathfrak {q}})}&{\mathfrak {q}}\mid \infty \end{cases}}

그렇다면 임의의 아라켈로프 인자

{\mathfrak {A}}=\prod _{\mathfrak {q}}{\mathfrak {q}}^{\nu ({\mathfrak {q}})}\qquad \nu ({\mathfrak {q}})\in {\begin{cases}\mathbb {Z} &{\mathfrak {q}}\nmid \infty \\\mathbb {R} &{\mathfrak {q}}\mid \infty \end{cases}}

의 아이디얼 노름은 다음과 같다.^[4]^{:186, Definition III.1.5}

\operatorname {N} ({\mathfrak {A}})=\prod _{\mathfrak {q}}\operatorname {N} ({\mathfrak {q}})^{\nu ({\mathfrak {q}})}\in \mathbb {R} ^{+}

이는 아라켈로프 인자들의 아벨 군에서 양의 실수의 곱셈군 $\mathbb {R} ^{+}$ 으로 가는 군 준동형을 정의한다.

이델 노름

보다 일반적으로, 두 대역체 사이의 확대 $L/K$ 가 주어졌을 때, 그 이델 군 사이의 다음과 같은 상대 이델 노름(영어: relative idèle norm)이 존재한다.

\operatorname {N} _{L/K}\colon \mathbb {A} _{L}^{\times }\to \mathbb {A} _{K}^{\times }

\operatorname {N} _{L/K}\colon (a_{\mathfrak {q}})_{{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Places} L}\mapsto \prod _{{\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}}\operatorname {N} _{L_{\mathfrak {q}}/K_{\mathfrak {p}}}(a_{\mathfrak {q}})

여기서

$\textstyle \prod _{{\mathfrak {q}}\mid {\mathfrak {p}}}$ 는 $K$ 의 모든 자리 ${\mathfrak {p}}$ 및 ${\mathfrak {p}}$ 가 분기화하는 모든 $L$ 의 자리 ${\mathfrak {q}}$ 들에 대한 곱이다.
$\operatorname {N} _{L_{\mathfrak {q}}/K_{\mathfrak {p}}}$ 는 완비체의 확대 $L_{\mathfrak {q}}/K_{\mathfrak {p}}$ 에 대한 체 노름이다.

이는 연속 함수이며 군 준동형을 이룬다. $a\in L^{\times }$ 에 의하여 정의되는 주 이델 $(a)\in \mathbb {A} _{L}^{\times }$ 의 상은 $K$ 의 주 이델이므로, 이는 이델 유군 사이의 연속 군 준동형

C_{L}\to C_{K}

을 정의한다.

마찬가지로, 다음과 같은, 양의 실수 값의 절대 이델 노름(영어: absolute idèle norm)이 존재한다.

\operatorname {N} _{K}\colon \mathbb {A} _{K}^{\times }\to \mathbb {R} ^{+}

\operatorname {N} _{K}\colon (a_{\mathfrak {q}})_{{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Places} K}\mapsto \prod _{\mathfrak {p}}|a|_{\mathfrak {p}}

이는 연속 함수이며 군 준동형을 이룬다. $a\in K^{\times }$ 에 의하여 생성되는 주 이델 $(a)\in \mathbb {A} _{K}^{\times }$ 의 절대 이델 노름은 항상 1이다.^[4]^{:185, Proposition III.1.3} 따라서 이는 이델 유군을 정의역으로 하는 연속 군 준동형

C_{K}\to \mathbb {R} ^{+}

을 정의한다.

성질

체 노름과의 관계

임의의 대수적 수체의 대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{L}$ 에서, 주 아이디얼의 절대 아이디얼 노름은 체 노름 $\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }$ 의 절댓값이다. 보다 일반적으로, $L=\operatorname {Frac} {\mathcal {O}}_{L}$ 의 임의의 원소의 주 분수 아이디얼 $(a{\mathcal {O}}_{L})$ 의 절대 아이디얼 노름은 체 노름의 절댓값이다.

\operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }(a{\mathcal {O}}_{L})=|\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(a)|\qquad (a\in K)

그러나 아이디얼 노름은 체 노름과 달리 부호를 기억하지 않는다.

복소수 자리의 수

임의의 대수적 수체 $L/\mathbb {Q}$ 에 대하여, $L$ 의 복소수 자리의 수(즉, 환 준동형 집합 $\hom _{\operatorname {CRing} }(L,\mathbb {C} )$ 의 크기의 절반. 이는 복소켤레에 의하여 이는 항상 정수이다)를 $s_{\mathbb {C} }(L)$ 라고 하자. 그렇다면, 임의의 (영 아이디얼이 아닌) 아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathcal {O}}_{L}$ 에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.^[4]^{:35, Lemma I.6.2}

\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s_{\mathbb {C} }(L)}\leq {\frac {{\sqrt {\left|\Delta _{L}\right|}}\operatorname {N} _{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }({\mathfrak {a}})}{\min _{a\in {\mathfrak {a}}\setminus \{0\}}|\operatorname {N} _{L/\mathbb {Q} }(a)|}}

여기서 $\Delta _{L}$ 은 수체의 판별식을 뜻한다. 따라서, 이를 통하여 대수적 수체의 복소수 자리의 수의 상계를 얻을 수 있다.

역사

일반적인 데데킨트 정역에 대한 아이디얼 노름은 장피에르 세르가 정의하였다.^[1]^{:Proposition 1.5.14}

같이 보기

각주

↑ ^가 ^나 Serre, Jean-Pierre (1979). 《Local fields》 (영어). Marvin Jay Greenberg 역. Graduate Texts in Mathematics 67. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90424-7. MR 554237.
↑ Janusz, Gerald J. (1996). 《Algebraic number fields》 2판 (영어). Graduate Studies in Mathematics 7. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4. MR 1362545.
↑ Swinnerton-Dyer, Peter (2001년 2월). 《A brief guide to algebraic number theory》 (영어). London Mathematical Society Student Texts. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139173360. ISBN 978-0-52100423-7.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》 (영어). Norbert Schappacher 역. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 322. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.

[Serre-1] 가 ^나 Serre, Jean-Pierre (1979). 《Local fields》 (영어). Marvin Jay Greenberg 역. Graduate Texts in Mathematics 67. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90424-7. MR 554237.

[Janusz-2] Janusz, Gerald J. (1996). 《Algebraic number fields》 2판 (영어). Graduate Studies in Mathematics 7. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4. MR 1362545.

[Swinnerton-Dyer-3] Swinnerton-Dyer, Peter (2001년 2월). 《A brief guide to algebraic number theory》 (영어). London Mathematical Society Student Texts. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139173360. ISBN 978-0-52100423-7.

[Neukirch-4] 가 ^나 ^다 ^라 Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》 (영어). Norbert Schappacher 역. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 322. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.

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