아이디얼 노름

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대수적 수론에서, 아이디얼 노름(영어: ideal norm)은 임의의 분수 아이디얼에 대하여 정의되는, 체 노름의 일반화이다.

정의[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 크룰-아키즈키 정리에 의하여 속의 정수적 폐포 역시 데데킨트 정역을 이룬다.

그렇다면, 상대 아이디얼 노름(영어: relative ideal norm)은 다음과 같은 꼴의 모노이드 준동형이다.

여기서 은 (영 아이디얼을 포함하는) 모든 분수 아이디얼들로 구성된 곱셈 모노이드이다. 이는 상대 아이디얼 노름이 만족시키는 성질들로부터 공리적으로 정의할 수 있으며, 체 노름을 사용하여 구체적으로도 정의할 수 있다.

공리적 정의[편집]

상대 아이디얼 노름 은 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 모노이드 준동형이다.[1]:Proposition 1.5.14

  • . 여기서 영 아이디얼이다.
  • 임의의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼 에 대하여, 만약 라면,

여기서 는 (덧셈군으로서) 부분군의 지표를 뜻한다. 여기서 라는 것은 분기화에 대하여 위에 있다는 것을 뜻한다. 즉, 에서 소인수 분해하면 는 그 소인수 가운데 하나이다.

체 노름을 통한 정의[편집]

아이디얼 노름은 체 노름을 통해서도 정의할 수 있다.[2]:Proposition I.8.2[3]:25, §4 분수 아이디얼 아이디얼 노름 은 다음과 같은 분수 아이디얼이다.

즉, 아래 으로 생성되는 분수 아이디얼이다. 여기서 체의 확대 에 대한 체 노름이다.

절대 아이디얼 노름[편집]

대수적 수체 이 주어졌을 때, , , 로 놓으면 위 조건이 성립한다. 이 경우, (주 아이디얼 정역이므로) 은 음이 아닌 유리수의 곱셈 모노이드 로 여길 수 있다. 따라서 아이디얼 노름은 모노이드 준동형

을 정의하며, 절대 아이디얼 노름이라고 한다.

절대 아이디얼 노름은 다음과 같이 직접적으로 정의할 수 있다. 대수적 수체 대수적 정수환 아이디얼 절대 아이디얼 노름은 다음과 같다.[4]:34, §I.6

즉, 만약 영 아이디얼이 아니라면 몫환 집합의 크기이다. 이는 곱셈 연산을 보존하므로, 다음과 같은 모노이드 준동형을 이룬다.

여기서 의 아이디얼들의 곱셈 모노이드이며, 자연수(음이 아닌 정수)들의 곱셈 모노이드이다.

보다 일반적으로, -아이디얼의 절대 아이디얼 노름은 -분수 아이디얼로 다음과 같이 일반화할 수 있다.

(여기서 로 생성되는 주 아이디얼이다.) 이는 다음과 같은 모노이드 준동형을 이룬다.

여기서

  • 은 (영 분수 아이디얼을 포함하는) 분수 아이디얼들의 곱셈 모노이드이다.
  • 는 음이 아닌 유리수들의 곱셈 모노이드이다.

아라켈로프 인자의 아이디얼 노름[편집]

대수적 수체 의 무한 또는 유한 자리 ()에 대하여 다음을 정의하자.

  • 는 값매김환 잉여류체이다. (만약 가 무한 위치라면 이다.) 마찬가지로 값매김환 의 잉여류체이다.
  • 분기화 에 대한 의 관성 차수이다.

그렇다면 다음을 정의할 수 있다.

그렇다면 임의의 아라켈로프 인자

아이디얼 노름은 다음과 같다.[4]:186, Definition III.1.5

이는 아라켈로프 인자들의 아벨 군에서 양의 실수의 곱셈군 으로 가는 군 준동형을 정의한다.

이델 노름[편집]

보다 일반적으로, 두 대역체 사이의 확대 가 주어졌을 때, 그 이델 군 사이의 다음과 같은 상대 이델 노름(영어: relative idèle norm)이 존재한다.

여기서

  • 의 모든 자리 분기화하는 모든 자리 들에 대한 곱이다.
  • 는 완비체의 확대 에 대한 체 노름이다.

이는 연속 함수이며 군 준동형을 이룬다. 에 의하여 정의되는 주 이델 주 이델이므로, 이는 이델 유군 사이의 연속 군 준동형

을 정의한다.

마찬가지로, 다음과 같은, 양의 실수 값의 절대 이델 노름(영어: absolute idèle norm)이 존재한다.

이는 연속 함수이며 군 준동형을 이룬다. 에 의하여 생성되는 주 이델 의 절대 이델 노름은 항상 1이다.[4]:185, Proposition III.1.3 따라서 이는 이델 유군을 정의역으로 하는 연속 군 준동형

을 정의한다.

성질[편집]

체 노름과의 관계[편집]

임의의 대수적 수체대수적 정수환 에서, 주 아이디얼의 절대 아이디얼 노름은 체 노름 절댓값이다. 보다 일반적으로, 의 임의의 원소의 주 분수 아이디얼 의 절대 아이디얼 노름은 체 노름절댓값이다.

그러나 아이디얼 노름은 체 노름과 달리 부호를 기억하지 않는다.

복소수 자리의 수[편집]

임의의 대수적 수체 에 대하여, 의 복소수 자리의 수(즉, 환 준동형 집합 크기의 절반. 이는 복소켤레에 의하여 이는 항상 정수이다)를 라고 하자. 그렇다면, 임의의 (영 아이디얼이 아닌) 아이디얼 에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.[4]:35, Lemma I.6.2

여기서 수체의 판별식을 뜻한다. 따라서, 이를 통하여 대수적 수체의 복소수 자리의 수의 상계를 얻을 수 있다.

역사[편집]

일반적인 데데킨트 정역에 대한 아이디얼 노름은 장피에르 세르가 정의하였다.[1]:Proposition 1.5.14

참고 문헌[편집]

  1. Serre, Jean-Pierre (1979). 《Local fields》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 67. Marvin Jay Greenberg 역. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90424-7. MR 554237. 
  2. Janusz, Gerald J. (1996). 《Algebraic number fields》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 7 2판. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4. MR 1362545. 
  3. Swinnerton-Dyer, Peter (2001년 2월). 《A brief guide to algebraic number theory》. London Mathematical Society Student Texts (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-0-52100423-7. doi:10.1017/CBO9781139173360. 
  4. Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 322. Norbert Schappacher 역. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021. doi:10.1007/978-3-662-03983-0.