인자 (대수기하학)

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대수기하학에서, 인자(因子, 영어: divisor)는 여차원이 1인 부분 대수다양체의 개념을 일반화한 것이다. 카르티에 인자(Cartier因子, 영어: Cartier divisor)와 베유 인자(Weil因子, 영어: Weil divisor) 두 종류가 있으며, 비특이 대수다양체의 경우에는 두 정의는 동치이다.

베유 인자[편집]

정규 스킴 X소인자(素因子, 영어: prime divisor) Z\subset X는 다음 조건을 만족시키는 X닫힌 부분 스킴이다.[1]:130

X베유 인자군(Weil因子群, 영어: Weil divisor group)은 X의 소인자들로 생성되는 자유 아벨 군이며, 베유 인자는 베유 인자군의 원소이다.[1]:130–136 즉, 다음과 같은 꼴의 형식적 선형 결합이다.

 \sum_i a_i Z_i

여기서 a_i\in\mathbb Z이며, Z_iX의 소인자이며, \{i\colon a_i\ne0\}유한 집합이다.

효과적 인자[편집]

뇌터 정규 스킴 X효과적 베유 인자 모노이드X의 소인자들로 생성되는 자유 가환 모노이드이며, 효과적 베유 인자(效果的Weil因子, 영어: effective Weil divisor)는 효과적 베유 인자의 모노이드이다. 즉, 베유 인자

 \sum_i a_i Z_i

가운데, a_i가 모두 음이 아닌 정수인 것들이다.

선형 동치[편집]

뇌터 정역 정규 스킴 X가 주어졌을 때, 유리 함수체

K(X)=\operatorname{Frac}\Gamma(X,\mathcal O_X)

를 생각하자. 임의의 f\in K(X)에 대하여, f에 대응하는 주인자(主因子, 영어: principal divisor)를 다음과 같이 정의하자.

(f)=\sum_Y\operatorname{val}_Y(f)Y\in\operatorname{Weil}(X)

여기서 기호는 다음과 같다.

  • \sum_YX의 모든 소인자들에 대한 합이다. (오직 유한 개의 항만이 0이 아님을 보일 수 있다.)
  • 소인자 Y일반점 y\in X에서의 줄기 \mathcal O_{X,y}는 항상 이산 값매김환을 이룬다. \operatorname{val}_Y\colon K(X)\to\mathbb Z\mathcal O_{X,y}의 값매김이다.

두 베유 인자 D_1, D_2의 차 D_1-D_2가 (어떤 유리 함수의) 주인자라면, D_1D_2선형 동치(線型同値, 영어: linearly equivalent)라고 하고, D_1\sim D_2라고 쓴다. 이는 베유 인자에 대한 동치 관계다. 선형 동치에 대한 베유 인자들의 동치류들을 인자류(因子類, 영어: divisor class)라고 한다. 동치류들의 덧셈에 대한 아벨 군인자류군(因子類群, 영어: divisor class group)이라고 한다.

카르티에 인자[편집]

(X,\mathcal O_X)스킴이라고 하자. X유리 함수층 \mathcal K_X를 생각하자. 그렇다면 다음과 같은, 아벨 군 짧은 완전열이 존재한다.

\underline 1\to\mathcal O^\times_X\to\mathcal K_X^\times\to\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times\to \underline 1

X카르티에 인자층(Cartier主因層, 영어: sheaf of Cartier divisors)은 다음과 같은 아벨 군층이다.

\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times

X카르티에 인자군은 카르티에 인자층의 대역 단면들의 군, 즉 \Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)이다. X카르티에 인자는 카르티에 인자군의 원소이다.[1]:141[2]:256, Definition 7.1.17 즉, 구체적으로 X의 카르티에 인자는 X열린 덮개 \{U_i\}_{i\in I}유리 함수 \{f_i\in\Gamma(U_i,\mathcal K_X^\times)\}_{i\in I}로 정의되며, 이 경우 임의의 i,j\in I에 대하여 만약 U_i\cap U_j\ne\varnothing이라면

f_i/f_j\in\Gamma(U_i\cap U_j;\mathcal O_X)

이어야 한다.

효과적 인자[편집]

효과적 카르티에 인자(영어: effective Cartier divisor)는 모노이드 준동형

\Gamma(X;\mathcal O_X\cap\mathcal K^\times)\to\Gamma(X;\mathcal K^\times/\mathcal O_X^\times)

의 상에 속하는 카르티에 인자이다.[2]:256, Definition 7.1.17 즉, 위와 같이 구체적으로 \{(U_i,f_i)\}_{i\in I}로 나타내었을 때, f_i\in\Gamma(U_i,\mathcal O_X)\cap\Gamma(U_i,\mathcal K_X^\times)로 잡을 수 있는 카르티에 인자이다.[1]:145 이 경우, 각 f_i아이디얼 층 (f_i)를 정의하며, 이는 여차원이 1인 부분 스킴을 정의한다.

선형 동치[편집]

층의 짧은 완전열에 따라서, 다음과 같은 아벨 군완전열이 존재한다.

1\to\Gamma(X;\mathcal O^\times_X)\to\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)\to\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)\to H^1(X;\mathcal O_X^\times)=\operatorname{Pic}(X)

카르티에 주인자(Cartier主因子, 영어: principal Cartier divisor)는 \Gamma(X;\mathcal K_X^\times)\to\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)에 속하는 카르티에 인자이다.[2]:256, Definition 7.1.17

두 카르티에 인자 D_1,D_2\in\Gamma(X;\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times)에 대하여, 만약 D_1-D_2가 카르티에 주인자이면 D_1D_2가 서로 선형 동치(영어: linearly equivalent)라고 한다.[2]:256, Definition 7.1.17

성질[편집]

베유 인자와 카르티에 인자의 관계[편집]

임의의 뇌터 분리 정규 스킴 X에 대하여, 카르티에 인자군에서 베유 인자군으로 가는 표준적인 단사 군 준동형이 존재한다.[1]:142, Remark II.6.11.2

\operatorname{Cartier}(X)\to\operatorname{Weil}(X)

이에 따라, 카르티에 인자의 아벨 군은 베유 인자의 아벨 군의 부분군이며, 이 부분군은 구체적으로 다음 조건을 만족시키는 베유 인자 D로 구성된다.[1]:142, Remark II.6.11.2

  • X의 충분히 섬세한 열린 덮개 \{U_i\}_{i\in I}에 대하여, D|_{U_i}U_i의 베유 주인자이다.

이 준동형이 동형을 이룰 필요충분조건은 X의 구조층의 모든 줄기유일 인수 분해 정역인 것이다. 특히, 비특이 대수다양체의 경우에는 카르티에 인자군과 베유 인자군이 서로 동형이다.

구체적으로, 주어진 카르티에 인자에 대응하는 베유 인자는 다음과 같다.[1]:141, Proposition 6.11 X정역 스킴이므로, 그 유리 함수층은 어떤 체 K에 대한 상수층이다.

\mathcal K_X\cong\underline K
\mathcal K_X^\times\cong\underline{K^\times}

X 위의 모든 베유 소인자 Y\subset X에 대하여, 그 일반점에서의 줄기 \mathcal O_{Y,X}이산 값매김환이며, 그 값매김을

\operatorname{val}_Y\colon\mathcal K^\times_{Y,X}/\mathcal O^\times_{Y,X}\to\mathbb Z

라고 하자. 또한, \mathcal K_X^\times의 모든 단면군이 K^\times가 될 정도로 섬세한 X열린 덮개 \{U_i\}_{i\in I}를 고르자.

X=\bigcup_{i\in I}U_i
\Gamma(U_i,\mathcal K_X^\times)\cong K^\times

X위의 카르티에 인자 f\in\Gamma(X,\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times) 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 i,j\in I에 대하여, 만약 Y\cap U_i\cap U_j\ne\varnothing이라면 \operatorname{val}_Y(f|_{U_i})=\operatorname{val}_Y(f|_{U_j})이다. 그렇다면 다음과 같은 베유 인자를 정의할 수 있다.

D_f=\sum_{Y\subset X}\operatorname{val}_Y(f|_{U_i})Y

X가 뇌터 스킴이므로, 이 합은 유한하다.


카르티에 인자와 가역층의 관계[편집]

모든 카르티에 인자 D에 대해, 언제나 이와 관련된 선다발 \mathcal L(D) (또는 가역층 \mathcal O_X(D))을 대응시킬 수 있으며, 인자의 합은 이 선다발의 텐서곱에 해당한다. 선다발은 U_iU_j 사이의 전이사상(영어: transition map) g_{ij}\colon U_i\cap U_j\to k^*으로 정의되는데, 카르티에 인자 \{f_i\}가 주어지면, 이에 대응하는 선다발의 전이사상들은 g_{ij}=f_i/f_j이다. 이는 전이사상의 성질들 g_{ij}g_{ji}=1, g_{ij}g_{jk}g_{ki}=1을 만족시킴을 쉽게 알 수 있다.

임의의 스킴에 대하여, 카르티에 인자들의 선형 동치류들의 아벨 군에서 피카르 군

\operatorname{Pic}(X)=H^1(X;\mathcal O_X^\times)

으로 가는 표준적인 군 준동형이 존재한다. 이는 항상 단사 함수이며,[2]:257, Proposition 7.1.18b 만약 X축소 뇌터 스킴이라면 이는 군의 동형이다.[2]:257, Corollary 7.1.19

[편집]

카르티에 인자가 아닌 베유 인자[편집]

두 인자가 일치하지 않는 대표적인 경우는 하나의 특이점이 존재하는 이차 곡면\operatorname{Spec}\mathbb C[x,y,z]/(xy-z^2)이다.[1]:142, Example 6.11.3 이 경우, x

\operatorname{Spec}\mathbb C[x,y,z]/((y)\cap(z))\subset \operatorname{Spec}\mathbb C[x,y,z]/(xy-z^2)

은 이차 뿔의 1차원 부분 다양체이므로, 베유 인자를 이룬다. 그러나 이는 국소 주인자가 아니므로, 카르티에 인자가 아니다.

리만 곡면에서의 인자[편집]

리만 곡면(비특이 1차원 복소 대수다양체)의 경우에는 베유 인자와 카르티에 인자가 서로 일치하며, 곡면의 모든 점들로 생성되는 자유 아벨 군이다. 예를 들어, 리만 곡면 M에서 z_0\in M이라고 하자. 그렇다면 nz_0 (n\in\mathbb Z) 는 (베유) 인자로 여길 수 있다. 카르티에 인자로는, 이를 (국소 복소좌표계에서 정의된) 함수 z\mapsto(z-z_0)^n으로 정의한다.

보다 일반적으로, M 위에 정의된 유리형 함수 f\colon M\to\hat{\mathbb C}가 주어지면, 이에 대응하는 인자 (f)를 정의할 수 있다. 이는 f극점들과 영점들의 선형 결합이며, 선형 결합에서 (z-z_0)^n꼴의 영점의 계수는 n으로, (z-z_0)^{-n} 꼴의 극점의 계수는 -n으로 한다.

데데킨트 정역에서의 인자[편집]

데데킨트 정역 D스펙트럼 X=\operatorname{Spec}D를 생각하자. 이 경우, 다음과 같은 대응이 존재한다.

대수기하학 수론
유리 함수체 K(X) 분수체 \operatorname{Frac}D
베유 소인자 소 아이디얼
베유 인자 인자 아이디얼
베유 주인자 주 분수 아이디얼
베유 인자류군 아이디얼 유군
인자류군이 자명함 주 아이디얼 정역

구체적으로, 베유 소인자들은 D의 소 아이디얼들에 대응한다.

\operatorname{Spec}D/\mathfrak p\hookrightarrow\operatorname{Spec}D

데데킨트 정역에서는 아이디얼의 소인수 분해가 존재하므로, D아이디얼

\mathfrak a=\prod_i\mathfrak p_i^{n_i}\qquad(n_i\ge0)

는 베유 효과적 인자

\sum_in_i\operatorname{Spec}(D/\mathfrak p_i)

와 대응한다. 이 경우, D의 임의의 베유 인자는 D인자 아이디얼

\mathfrak a=\prod_i\mathfrak p_i^{n_i}\qquad(n_i\in\mathbb Z)

에 대응한다.

D분수체의 원소 a\in\operatorname{Frac}D로 생성되는 주 분수 아이디얼 Da\operatorname{Spec}D의 베유 주인자에 대응한다. 따라서, D의 베유 인자류군은 D아이디얼 유군과 같다.

예를 들어, 정수환의 스펙트럼 \operatorname{Spec}\mathbb Z에서, 베유 인자들은 양의 유리수일대일 대응하며, 이 경우 유리수

\prod_ip_i^{n_i}\qquad(n_i\in\mathbb Z)

는 베유 인자

\sum_in_i\operatorname{Spec}\mathbb F_{p_i}

에 대응한다. 모든 인자 아이디얼을 어떤 유리수에 대응하는 주 분수 아이디얼로 나타낼 수 있으므로, 정수환의 베유 인자류군은 자명하다. 즉, 정수환은 주 아이디얼 정역이다.

역사[편집]

이름에서도 알 수 있듯, 인자의 개념은 수론에서 유래하였다. 인자의 개념의 역사는 레오폴트 크로네커인자 이론(독일어: Divisorentheorie)에서부터 시작되었다. 이는 오늘날 환론에서 쓰이는 리하르트 데데킨트아이디얼 이론을 일반화하는 이론이었다. 에른스트 쿠머는 크로네커의 이론을 추상화하여 데데킨트 정역인자 아이디얼의 개념을 도입하였다.

앙드레 베유는 데데킨트 정역의 인자 아이디얼의 개념을 대수다양체에 일반화하여, 베유 인자를 도입하였다.[3] 베유 인자의 개념을 1950년대에 피에르 카르티에가 개량하여, 층 이론을 사용하여 카르티에 인자를 도입하였다.[4] 이로서 후자는 특이점이 있는 공간에도 적용할 수 있게 되었다.

참고 문헌[편집]

  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  2. Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》 (영어). Oxford Graduate Texts in Mathematics 6. Reinie Erne 역 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 
  3. Weil, A. (1958). 《Introduction à l'étude des variétés kahlériennes》 (프랑스어). Actualités Scientifiques et Industrielles 1267. 파리: Hermann & Cie. Zbl 0137.41103. 
  4. Cartier, P. (1958). “Questions de rationalité des diviseurs en géometrie algébrique” (프랑스어). 《Bull. Soc. Math. France》 86: 177–251. MR 0106223. Zbl 0091.33501. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]