특이점 (대수기하학)

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평면 대수 곡선 은 원점에 특이점을 갖는다.

대수기하학에서, 특이점(特異點, 영어: singular point)은 대수다양체를 정의하는 다항식들의 야코비 행렬의 계수가 다른 곳보다 더 작은 점이다.

정의[편집]

대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체 의 점 에 대하여, 만약 줄기 정칙 국소환이 아니라면, 특이점이라고 한다. 특이점이 없는 대수다양체를 비특이 대수다양체(영어: nonsingular variety)라고 한다.[1]:32

이 조건은 일반적인 스킴의 경우에도 정의할 수 있으나, 모든 줄기가 정칙 국소환인 스킴은 보통 "비특이" 대신 정칙 스킴(영어: regular scheme)이라고 한다.

성질[편집]

아핀 대수다양체 및 점 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 의 특이점이 아니다.
  • 으로 생성된다면, 행렬 계수이다.[1]:31

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

축소 스킴정규 스킴 ⊋ 정칙 스킴 ⊋ 위의 매끄러운 스킴

즉, 모든 정칙 스킴은 정규 스킴이며, 임의의 에 대하여 모든 매끄러운 -스킴은 정칙 스킴이다. 특히, 완전체 위의 -스킴 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 는 매끄러운 사상이다.
  • 정칙 스킴이며, 국소 유한형 사상이다.

[편집]

표수가 0인 대수적으로 닫힌 체에서의 복소 평면 대수 곡선

을 생각하자. 이 경우, 1×2 야코비 행렬

이며, 그 계수는 이면 0, 아니면 1이다. 이 두 점 가운데 은 곡선 위에 있으므로, 이는 대수 곡선의 특이점이다.

참고 문헌[편집]

  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]