피카르 군

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대수기하학에서, 피카르 군(Picard群, 영어: Picard group)은 환 달린 공간 위에 존재하는 가역층들의 이다.

정의[편집]

X환 달린 공간이라고 하자. 그렇다면 X 위에 존재하는 가역층(가역 선다발)들의 집합을 생각하자. 이 집합에 텐서곱을 통해 군의 연산을 줄 수 있다. 이 군을 피카르 군 \operatorname{Pic}(X)이라고 한다. 이는 층 코호몰로지를 사용하여

\operatorname{Pic}(X)=H^1(X;\mathcal O^\times_X)

와 같이 정의할 수도 있다.

피카르 스킴[편집]

대수적으로 닫힌 체 K에 대한 사영 공간의 부분 스킴인 정역 스킴에 대하여, 피카르 군에 K-스킴의 주조를 줄 수 있는데, 이를 피카르 스킴(영어: Picard scheme) \operatorname{Pic}_{X/K}이라고 한다.[1]

피카르 스킴에서, 원점을 포함하는 연결 성분\operatorname{Pic}^0(X)라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

1\to\operatorname{Pic}^0(X)\to\operatorname{Pic}(X)\to \operatorname{Pic}(X)/\operatorname{Pic}^0(X)\to1

여기서 몫군 \operatorname{Pic}(X)/\operatorname{Pic}^0(X)네롱-세베리 군(영어: Néron–Severi group)이라고 하며, \operatorname{NS}(X)로 쓴다. 네롱-세베리 군의 계수피카르 수(영어: Picard number) \rho(X)라고 한다. 네롱-세베리 군의 꼬임 부분군 \operatorname{NS_{tors}}(X)의 크기를 세베리 수(영어: Severi number)라고 한다.

성질[편집]

대수적으로 닫힌 체 위의 완비 비특이 대수다양체 X의 네롱-세베리 군은 유한 생성 아벨 군이며, (네롱-세베리 정리 영어: Néron–Severi theorem) 또한 네롱-세베리 군의 꼬임 부분군 \operatorname{NS_{tors}}(X)쌍유리 동치에 대하여 불변이다.

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K에 대한 n차원 사영 공간 \mathbb P^n_K의 경우, 가역층들은 \mathcal O(m) (m\in\mathbb Z)이고, 이들은 \mathcal O(m_1)\otimes\mathcal O(m_2)\cong\mathcal O(m_1+m_2)를 만족한다. 따라서 \mathbb P^n_K의 피카르 군은 무한 순환군 \mathbb Z동형이다.

데데킨트 정역의 피카르 군은 그 아이디얼 유군이다.

K에 대하여, 두 개의 \operatorname{Spec}K[x]를 0이 아닌 원소들의 열린 집합 \operatorname{Spec}K[x]\setminus\operatorname{Spec}K[x]/(x)에서 이어붙이면, 원점이 두 개인 아핀 직선을 얻는다. 이 경우, 피카르 군은 무한 순환군 \mathbb Z와 동형이다.

역사[편집]

피카르 군은 에밀 피카르의 이름을 땄다. 네롱-세베리 군은 앙드레 네롱프란체스코 세베리의 이름을 땄다.

참고 문헌[편집]

  1. Kleiman, Steven L. (2005). 〈The Picard scheme〉. 《Fundamental algebraic geometry》 (영어). Math. Surveys Monogr. 123. American Mathematical Society. 235–321쪽. arXiv:math/0504020. MR 2223410. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]