수학에서 가역층(可逆層, 영어: invertible sheaf)은 텐서곱에 대한 역원이 존재하는 연접층이다.
환 달린 공간
위의 연접층
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 경우
를 가역층이라고 한다.
는 텐서곱에 대한 역원을 갖는다. 즉, 어떤 연접층
에 대하여,
이다.
는 1차원 국소 자유 가군층이다.
스킴을 통한 정의[편집]
스킴 위의 층의 경우, 가역층은 보다 구체적으로 대수적 선다발(영어: algebraic line bundle)의 단면으로 주어진다.
가 스킴이라고 하자.
위의 대수적 선다발은 1차원 대수적 선다발이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 스킴
![{\displaystyle E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
- 전사 함수인 스킴 사상
![{\displaystyle \pi \colon E\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9d6e10a97de4dd6d790d2ef4a13adf0e38052f)
의 어떤 열린 덮개 ![{\displaystyle {\mathcal {U}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e63ea009de5efbca2fc285b8550daaed577c6b8)
- 각
에 대하여, 스킴 동형 사상 ![{\displaystyle \pi ^{-1}(U)\to \mathbb {A} _{U}^{1}=(\operatorname {Spec} \mathbb {Z} [x])\times U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b9c2fb6211674cb3641620cf4161ca461813f9)
이 조건은 다음을 만족시켜야 한다.
- 임의의
및 아핀 열린 부분 스킴
에 대하여, 이로 유도되는 가환환 준동형
은 어떤 가역원
에 대하여
,
의 꼴로 주어지는 가환환 동형 사상이다.
같은 스킴
위의 두 대수적 선다발
,
사이의 동형 사상은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
-스킴의 동형 사상 ![{\displaystyle \iota \colon E/X\to E'/X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd9780e00144176f9e8d55478960f59d5249c8c4)
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
은 대수적 선다발을 이룬다.
그렇다면, 대수적 선다발의 단면들은 가역층을 이룬다. 반대로, 임의의 스킴 위의 임의의 가역층은 어떤 대수적 선다발의 단면층과 동형이다.
호몰로지와의 관계[편집]
환 달린 공간
위의 가역층에 대하여, 층 코호몰로지류
의 원소를 대응시킬 수 있다. 이는 표준적이며 전단사이며, 또한 텐서곱을 보존한다.
위의 가역층들의 동형류의 아벨 군을 피카르 군
이라고 하는데, 이에 따라 표준적으로 아벨 군의 동형
![{\displaystyle \operatorname {Pic} (X)\cong \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c2c5444be56d4876a09cfac2f217df226bd517)
이 존재한다.
인자와의 관계[편집]
임의의 국소 뇌터 스킴
위의 카르티에 인자
가 주어졌다면, 이에 대응되는 가역층을 정의할 수 있다. 구체적으로, 카르티에 인자
가 열린 덮개
에서
로 표현된다고 하자. (여기서
는 유리 함수층이다.) 그렇다면,
에 대응되는 가역층
은
로 생성되는 부분 가군층이다. 이 경우, 임의의 카르티에 주인자
에 대하여
이므로, 이는 카르티에 인자류군에서 피카르 군으로 가는 군 준동형
![{\displaystyle \operatorname {CaCl} (X)\to \operatorname {Pic} (X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef7fc9741e73ffd84e34953bb815ecc3cb87179)
을 정의한다.
뇌터 가환환
위의 사영 스킴
가 주어졌다고 하자. (
는 축소 스킴일 필요는 없다.) 그렇다면,
위의 모든 가역층은 카르티에 인자로 정의되는 가역층과 동형이다. 즉, 이 경우 피카르 군은 카르티에 인자류군과 동형이다. 반면, 임의의 뇌터 스킴의 경우, 카르티에 인자로 표현될 수 없는 가역층이 존재할 수 있다.[1]
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]