연접층

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대수기하학복소기하학에서, 연접층(連接層, 영어: coherent sheaf, 프랑스어: faisceau cohérent)은 밑 공간의 기하학적 성질과 밀접하게 연관된 좋은 성질을 가진 가군층이다. 카르탕 정리가가 정리 등, 대수기하학과 복소해석기하학의 많은 결과와 성질들은 연접층과 그 층 코호몰로지에 대한 것으로 서술된다. 벡터 다발을 일반화한 개념의 하나다.

개론[편집]

벡터 다발수학의 여러 분야에서 매우 중요한 개념이다. 그러나 주어진 위상 공간 X 위에 주어진 벡터 다발과 다발사상(bundle map)의 범주 \operatorname{Vect}(X)아벨 범주를 이루지 않는다. 구체적으로, 벡터 다발의 여핵은 항상 으로서 존재하지만 벡터 다발을 이루지 않을 수 있다. 예를 들어, EX 위의 n차원 실수 벡터 다발이고, f\colon X\to\mathbb R이 연속함수라고 하자. 그렇다면 f^*\colon E\to E, f^*\colon v\in E_x\mapsto f(x)v\in E_x는 다발사상이다. 만약 f가 어느 곳에서도 0이 아니라면, 핵 \ker f^*는 0차원의 자명한 벡터 다발이고, 공핵 \operatorname{coker}f^*\cong E 또한 n차원 벡터 다발이다. 그러나 fx\in X에서 0이라면, 이 점에서 f^*의 핵 \ker f^*는 0차원이 아니라 n차원이며, 반대로 \operatorname{coker}f^*는 0차원이다. 벡터 다발의 모든 올들은 차원이 같아야 하므로, 이 경우 f^*의 핵과 여핵은 X 벡터 다발을 이루지 않는다.

이 경우, \ker f^*는 부분 공간 f^{-1}(0)\subset X 위에만 존재하는 "벡터 다발"이며, \operatorname{coker}f^*는 부분 공간 f^{-1}(\mathbb R\setminus\{0\})\subset X 위에만 존재하는 "벡터 다발"이다. 이와 같이, "부분 공간 위의 벡터 다발"을 허용하여, 벡터 다발의 범주를 더 확장시켜 얻는 아벨 범주를 생각해 볼 수 있다. 이러한 아벨 범주는 존재하며, 그 원소를 연접층이라고 한다.

정의[편집]

유한형층과 유한 표시층[편집]

환 달린 공간 (X,\mathcal O_X)가 주어졌다고 하자. \mathcal O_X-가군층 \mathcal F가 다음 조건을 만족하면, 이를 유한형층(有限形層, 영어: sheaf of modules of finite type, 프랑스어: faisceau de type fini)이라고 한다.[1]:207, Définition §2.1[2]:45, (5.2.1)

  • 모든 x\in X에 대하여, \Gamma(U;\mathcal F)가 유한 생성 \Gamma(U;\mathcal O_X)-가군이 되는 열린 근방 U\ni x가 존재한다.

\mathcal O_X-가군층 \mathcal F가 다음 조건을 만족하면, 이를 유한 표시층(有限表示層, 영어: finitely presented sheaf of modules, 프랑스어: faisceau admettant une présentation finie)이라고 한다.[2]:46, (5.2.5)

  • 어떤 자연수 m,n\in\mathbb N에 대하여, 아벨 군층의 완전열 \mathcal O_X^m\to\mathcal O_X^n\to\mathcal F\to0이 존재한다.

연접층과 준연접층[편집]

다음 조건들을 만족시키는 \mathcal O_X-가군층 \mathcal F준연접층(準連接層, 영어: quasicoherent sheaf, 프랑스어: faisceau quasi-cohérent)이라고 한다.[2]:45, (5.1.3)

여기서 \kappa\lambda는 임의의 기수이다.

다음 조건들을 만족시키는 \mathcal O_X-가군층 \mathcal F연접층이라고 한다.[1]:208, Définition §2.2[2]:47, (5.3.1)

위 정의는 장피에르 세르알렉산더 그로텐디크가 사용하는 정의다. 로빈 하츠혼이 사용하는 정의[3]:111는 조금 다르지만, 뇌터 스킴의 경우에는 위 정의와 동치이다.

국소 자유층[편집]

다음 조건들을 만족시키는 \mathcal O_X-가군층 \mathcal F국소 자유층(局所自由層, 영어: locally free sheaf, {{llang|fr|faisceau localement libre)이라고 한다.[2]:48, (5.4.1)

국소 자유층은 벡터 다발에 대응하는 개념이다.

성질[편집]

임의의 환 달린 공간 위에서, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

연접층 ⊆[2]:47, (5.3.2) 유한 표시층 ⊆[2]:46, (5.2.5) 준연접층 ∩ 유한형층
국소 자유층 ⊆ 준연접층[2]:48, (5.4.1)

국소 뇌터 스킴 위에서는 구조층이 연접층이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.[4]

유한 계수 국소 자유층 ⊆[2]:48, (5.4.1) 연접층 = 유한 표시층 = 준연접층 ∩ 유한형층

연접층의 아벨 범주[편집]

임의의 환 달린 공간 X 위의 연접층들의 범주 \operatorname{Coh}(X)아벨 범주이다. 즉, 여핵 등이 존재하며, 호몰로지 대수학을 할 수 있다.

일반적 환 달린 공간 위의 준연접층의 범주 \operatorname{QCoh}(X)는 일반적으로 아벨 범주가 아니지만, X스킴일 경우는 이는 항상 아벨 범주를 이룬다.

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대수기하학[편집]

뇌터 스킴구조층은 연접층을 이룬다. ([3]:111, Example II.5.2.1에는 모든 스킴의 구조층이 연접층이라고 서술돼 있다. 그러나 하츠혼의 연접층의 정의는 여기서 정의된 연접층의 정의와 다르다. 두 정의는 뇌터 스킴의 경우 동치이다.)

스킴 X의 닫힌 부분 스킴 Y\subseteq X에 대응하는 아이디얼 층은 준연접층이다.

뇌터 아핀 스킴 위에서는 다음 세 개념이 일치한다.

  • 유한 생성 가군
  • 유한 계수의 국소 자유 가군
  • 연접층

구체적으로, R가 (단위원을 가진) 가환 뇌터 환이며, X\cong\operatorname{Spec}R가 이에 대응하는 아핀 스킴이라고 하자. 그렇다면 R 위의 유한 생성 가군들의 범주 \operatorname{fgMod}(R)\operatorname{Coh}(X)는 서로 동치이다. 구체적으로, \mathcal F\in\operatorname{Coh}(X)라면, 이에 대응하여 \mathcal F|_X\mathcal O_X|_X\cong R의 유한 생성 가군이다.

복소기하학[편집]

오카 연접성 정리(영어: Oka coherence theorem)에 따르면, 복소다양체 M 위의 정칙 함수의 층은 연접층이다. 보다 일반적으로, M 위의 해석적 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M이 주어졌을 때, E의 단면층은 연접층이다.

역사[편집]

연접층의 개념은 원래 앙리 카르탕이 1944년 경에 다변수 복소해석학에서 도입하였다. 1946년에 오카 기요시는 오카 연접성 정리를 증명하였다.

1955년에 장피에르 세르는 유명한 논문 〈대수적 연접층〉[1]에서 연접층의 개념을 대수기하학에 사용하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Serre, Jean-Pierre (1955). “Faisceaux algébriques cohérents” (프랑스어). 《Annals of Mathematics》 61 (2): 197–278. doi:10.2307/1969915. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969915. MR 0068874. 
  2. Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). “Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas” (프랑스어). 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 4. doi:10.1007/bf02684778. ISSN 0073-8301. MR 0217083. 
  3. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  4. Stacks project: 29.9

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]