연접층

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대수기하학복소기하학에서, 연접층(連接層, 영어: coherent sheaf, 프랑스어: faisceau cohérent)은 유한 계수 벡터 다발(국소 자유층)의 · 여핵으로 구성할 수 있는 가군층이다. 유한 계수 조건을 생략한다면 준연접층(準連接層, 영어: quasicoherent sheaf, 프랑스어: faisceau quasi-cohérent)의 개념을 얻는다. (준)연접층은 벡터 다발과 마찬가지로 공간의 기하학적 성질과 밀접하게 연관된, 좋은 성질을 가지며, 카르탕 정리가가 정리 등, 대수기하학과 복소해석기하학에서의 여러 정리가 성립한다.

벡터 다발수학의 여러 분야에서 매우 중요한 개념이다. 대수기하학에서 세르-스완 정리에 따라 (유한 차원) "벡터 다발"은 (유한 계수) 국소 자유층에 대응한다. 그러나 주어진 위상 공간 X 위에 주어진 벡터 다발과 선형 다발 사상범주 \operatorname{Vect}(X)아벨 범주를 이루지 않는다. 구체적으로, 벡터 다발의 여핵은 항상 으로서 존재하지만 벡터 다발을 이루지 않을 수 있다. 예를 들어, EX 위의 n차원 실수 벡터 다발이고, f\colon X\to\mathbb R연속 함수라고 하자. 그렇다면 f^*\colon E\to E, f^*\colon v\in E_x\mapsto f(x)v\in E_x는 선형 다발 사상이다. 만약 f가 어느 곳에서도 0이 아니라면, 핵 \ker f^*는 0차원의 자명한 벡터 다발이고, 공핵 \operatorname{coker}f^*\cong E 또한 n차원 벡터 다발이다. 그러나 fx\in X에서 0이라면, 이 점에서 f^*의 핵 \ker f^*는 0차원이 아니라 n차원이며, 반대로 \operatorname{coker}f^*는 0차원이다. 벡터 다발의 모든 올들은 차원이 같아야 하므로, 이 경우 f^*의 핵과 여핵은 X 벡터 다발을 이루지 않는다.

이 경우, \ker f^*는 부분 공간 f^{-1}(0)\subset X 위에만 존재하는 "벡터 다발"이며, \operatorname{coker}f^*는 부분 공간 f^{-1}(\mathbb R\setminus\{0\})\subset X 위에만 존재하는 "벡터 다발"이다. 이와 같이, "부분 공간 위의 벡터 다발"을 허용하여, 유한 차원 벡터 다발의 범주를 더 확장시켜 얻는 아벨 범주를 생각해 볼 수 있다. 이러한 아벨 범주는 존재하며, 그 원소를 연접층이라고 한다.

연접층의 범주는 아벨 범주를 이루지만, 이는 단사 대상을 충분히 가지는 범주가 아니므로 그 층 코호몰로지를 정의하기가 복잡하다. 이 대신, 모든 무한 차원일 수 있는 벡터 다발을 포함하는 아벨 범주준연접층의 범주는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이며, 따라서 층 코호몰로지를 쉽게 정의할 수 있다.

정의[편집]

연접 가군층[편집]

R 위의 왼쪽 가군 _RM이 다음 조건을 만족시킨다면, 연접 가군(連接加群, 영어: coherent module)이라고 한다.

연접 가군의 개념을 국소화하면, 연접 가군층의 개념을 얻는다. 즉, 국소환 달린 공간 (X,\mathcal O_X) 위에서, 다음 조건들을 만족시키는 \mathcal O_X-가군층 \mathcal F연접 가군층이라고 한다.[1]:208, Définition §2.2[2]:47, (5.3.1)

위 정의는 장피에르 세르알렉산더 그로텐디크가 사용하는 정의다. 로빈 하츠혼이 사용하는 정의[3]:111는 조금 다르지만, 뇌터 스킴의 경우에는 위 정의와 동치이다.

연접환과 연접 공간[편집]

R에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 왼쪽 연접환(-連接環, 영어: left-coherent ring)이라고 한다.[4]:460, Theorem 2.1

오른쪽 연접환도 마찬가지로 정의된다. 물론, 가환환의 경우 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

보다 일반적으로, 국소환 달린 공간 (X,\mathcal O_X)에서, 만약 \mathcal O_X가 (스스로 위의 가군층으로서) 연접층이라면, (X,\mathcal O_X)연접 공간(連接空間, 영어: coherent space)이라고 한다.

준연접층[편집]

환 달린 공간 (X,\mathcal O_X) 위에서, 다음 조건들을 만족시키는 \mathcal O_X-가군층 \mathcal F국소 단면 생성 가군층(局所斷面生成加群層, 영어: sheaf of modules locally generated by sections)이라고 한다.

환 달린 공간 (X,\mathcal O_X) 위에서, 다음 조건들을 만족시키는 \mathcal O_X-가군층 \mathcal F준연접 가군층(準連接層, 영어: quasicoherent sheaf of modules, 프랑스어: faisceau de modules quasi-cohérent)이라고 한다.[2]:45, (5.1.3)

국소 단면 생성 가군층/준연접 가군층의 정의에서, 기수 \kappa,\lambda자연수이어야 한다는 조건을 추가하면 각각 유한 생성 가군층/유한 표시 가군층의 개념을 얻는다.

성질[편집]

함의 관계[편집]

임의의 환 달린 공간 위에서, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

연접 가군층 ⊆[2]:47, (5.3.2) 유한 표시 가군층[2]:46, (5.2.5) 준연접 가군층 ∩ 유한 생성 가군층
국소 자유 가군층 ⊆ 준연접 가군층[2]:48, (5.4.1)

국소 뇌터 스킴 위에서는 구조층이 연접 가군층이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.[5]

유한 계수 국소 자유 가군층[2]:48, (5.4.1) 연접 가군층 = 유한 표시 가군층 = 준연접 가군층 ∩ 유한 생성 가군층

동치 조건[편집]

스킴 X 위의 가군층 \mathcal F에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • \mathcal F는 준연접 가군층이다.
  • 임의의 아핀 열린 부분 스킴 \operatorname{Spec}R\subseteq X에 대하여, \mathcal F|_{\operatorname{Spec}R}\mathcal O_{\operatorname{Spec}R}-가군층으로서 어떤 R-가군으로부터 유도된 \mathcal O_{\operatorname{Spec}R}-가군층과 동형이다.
  • X의 어떤 아핀 열린 덮개 \{\operatorname{Spec}R_i\}_{i\in I}에 대하여, \mathcal F|_{\operatorname{Spec}R_i}\mathcal O_{\operatorname{Spec}R_i}-가군층으로서 어떤 R_i-가군으로부터 유도된 \mathcal O_{\operatorname{Spec}R_i}-가군층과 동형이다.

뇌터 스킴 (X,\mathcal O_X) 위의 준연접 가군층 \mathcal F에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.[3]:111

  • \mathcal F는 연접층이다.
  • X의 어떤 아핀 열린 덮개 \{\operatorname{Spec}R_i\}_{i\in I}에 대하여, \mathcal F|_{\operatorname{Spec}R_i}\mathcal O_{\operatorname{Spec}R_i}-가군층으로서 어떤 R_i-유한 생성 가군으로부터 유도된 \mathcal O_{\operatorname{Spec}R_i}-가군층과 동형이다.

밂과 당김[편집]

스킴 사상에 대하여, 준연접층 가군층의 밂은 "거의 항상" 준연접 가군층이다. 즉, 매우 약한 조건 아래 준연접성이 보존된다. 그러나 연접성을 보존하려면 이는 매우 강한 조건(유한 사상)이 필요하다.

즉, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

만약 f에 대한 가군층의 밂 f_* 또는 당김 f^*이 가군층의 특정 성질을 보존하기 위한 충분 조건은 다음과 같다.

당김
준연접 가군층 항상 성립 준콤팩트 준분리 사상
연접 가군층 X, Y: 국소 뇌터 스킴 X, Y: 뇌터 스킴
f: 유한 사상
유한 생성 가군층 항상 성립 유한형 사상
국소 자유 가군층 항상 성립 (없음)

연접층의 아벨 범주[편집]

임의의 왼쪽 연접환 R 위의 연접 왼쪽 가군들의 범주 _R\operatorname{Coh}아벨 범주이다. 보다 일반적으로, 임의의 환 달린 공간 (X,\mathcal O_X) 위의 연접 가군층들의 범주 \operatorname{Coh}(X)아벨 범주이다. 즉, 여핵 등이 존재하며, 호몰로지 대수학을 할 수 있다. 그러나 이는 (거의 항상) 완비 범주쌍대 완비 범주가 아닌데, 이는 유한 계수 국소 자유 가군층들의 무한 직합 또는 직접곱은 유한 계수가 아니어서 연접층이 아니기 때문이다.

일반적 환 달린 공간 위의 준연접 가군층의 범주 \operatorname{QCoh}(X)는 일반적으로 아벨 범주가 아니다. 하지만, 만약 X스킴일 경우는 이는 다음 조건들을 만족시킨다.

즉, \operatorname{QCoh}(X)에서의 쌍대 극한은 가군층으로서의 쌍대 극한과 같다. \operatorname{QCoh}(X)에서의 유한 극한은 가군층으로서의 극한과 같지만, 무한 극한은 가군층의 극한과 일반적으로 다르며, 가군층에서의 극한에 Q를 가한 것이다.

아핀 스킴 위의 준연접층[편집]

가환환 R 위의 다음과 같은 두 범주는 서로 동치이다.

구체적으로, R-가군 M에 대응하는 준연접 가군층은 다음 조건을 만족시키는 유일한 가군층 \tilde M이다.

  • 임의의 r\in R에 대하여, \Gamma(\operatorname{Spec}(R_r);\tilde M)=R_r\otimes_RM

여기서

R_r=(\{1,r,r^2,\dots\})^{-1}R

r로 생성되는 곱셈 모노이드에서의 국소화이며, 그 스펙트럼\operatorname{Spec}R열린집합을 정의한다. 반대로, \operatorname{Spec}R 위의 준연접 가군층 \mathcal F에 대응하는 R-가군\Gamma(\operatorname{Spec}R;\mathcal F)이다.

뇌터 가환환 R에 대하여 다음 세 개념이 일치한다.

또한, R 위의 유한 생성 가군들의 범주 \operatorname{fgMod}(R)와 연접 가군층의 범주\operatorname{Coh}(X)는 서로 동치이다.

구체적으로, \mathcal F\in\operatorname{Coh}(X)라면, 이에 대응하여 \mathcal F|_X\mathcal O_X|_X\cong R유한 생성 가군이다.

[편집]

대수기하학[편집]

모든 왼쪽 뇌터 환은 왼쪽 연접환이며, 오른쪽 뇌터 환은 오른쪽 연접환이다. 국소 뇌터 스킴은 연접 공간이다. 즉, 그 구조층은 연접층을 이룬다. ([3]:111, Example II.5.2.1에는 모든 스킴의 구조층이 연접층이라고 서술돼 있다. 그러나 하츠혼의 연접층의 정의는 여기서 정의된 연접층의 정의와 다르다. 두 정의는 뇌터 스킴의 경우 동치이다.)

스킴 X의 닫힌 부분 스킴 Y\subseteq X에 대응하는 아이디얼 층은 준연접층이다.

복소기하학[편집]

오카 연접성 정리(영어: Oka coherence theorem)에 따르면, 복소다양체 M 위의 정칙 함수의 층은 연접층이다.[6] 보다 일반적으로, M 위의 해석적 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M이 주어졌을 때, E의 단면층은 연접층이다.

뇌터 환이 아닌 연접환[편집]

R왼쪽 뇌터 환일 경우, 임의의 집합 I에 대하여 다항식환 R[x_i]_{i\in I}는 항상 왼쪽 연접환이지만, 만약 I무한 집합이라면 이는 왼쪽 뇌터 환이 아니다.

역사[편집]

연접층의 개념은 원래 앙리 카르탕이 1944년 경에 다변수 복소해석학에서 도입하였다. 1946년에 오카 기요시는 오카 연접성 정리를 증명하였다.[6]

1955년에 장피에르 세르는 유명한 논문 〈대수적 연접층〉[1] 에서 연접층의 개념을 대수기하학에 응용하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Serre, Jean-Pierre (1955). “Faisceaux algébriques cohérents” (PDF). 《Annals of Mathematics》 (프랑스어) 61 (2): 197–278. doi:10.2307/1969915. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969915. MR 0068874. 
  2. Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). “Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 4. doi:10.1007/bf02684778. ISSN 0073-8301. MR 0217083. 
  3. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  4. Chase, Stephen U. (1960년 12월). “Direct products of modules”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 97: 457–473. doi:10.1090/S0002-9947-1960-0120260-3. ISSN 0002-9947. MR 0120260. 
  5. Stacks project: 29.9
  6. Oka, Kiyoshi (1950), “Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. VII. Sur quelques notions arithmétiques”, 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) 78: 1–27, ISSN 0037-9484, MR 0035831 

바깥 고리[편집]