연접층

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

대수기하학복소기하학에서, 연접층(連接層, 영어: coherent sheaf, 프랑스어: faisceau cohérent)은 유한 계수 벡터 다발(국소 자유층)의 · 여핵으로 구성할 수 있는 가군층이다. 유한 계수 조건을 생략한다면 준연접층(準連接層, 영어: quasicoherent sheaf, 프랑스어: faisceau quasi-cohérent)의 개념을 얻는다. (준)연접층은 벡터 다발과 마찬가지로 공간의 기하학적 성질과 밀접하게 연관된, 좋은 성질을 가지며, 카르탕 정리가가 정리 등, 대수기하학과 복소해석기하학에서의 여러 정리가 성립한다.

벡터 다발수학의 여러 분야에서 매우 중요한 개념이다. 대수기하학에서 세르-스완 정리에 따라 (유한 차원) "벡터 다발"은 (유한 계수) 국소 자유층에 대응한다. 그러나 주어진 위상 공간 X 위에 주어진 벡터 다발과 선형 다발 사상범주 \operatorname{Vect}(X)아벨 범주를 이루지 않는다. 구체적으로, 벡터 다발의 여핵은 항상 으로서 존재하지만 벡터 다발을 이루지 않을 수 있다. 예를 들어, EX 위의 n차원 실수 벡터 다발이고, f\colon X\to\mathbb R연속 함수라고 하자. 그렇다면 f^*\colon E\to E, f^*\colon v\in E_x\mapsto f(x)v\in E_x는 선형 다발 사상이다. 만약 f가 어느 곳에서도 0이 아니라면, 핵 \ker f^*는 0차원의 자명한 벡터 다발이고, 공핵 \operatorname{coker}f^*\cong E 또한 n차원 벡터 다발이다. 그러나 fx\in X에서 0이라면, 이 점에서 f^*의 핵 \ker f^*는 0차원이 아니라 n차원이며, 반대로 \operatorname{coker}f^*는 0차원이다. 벡터 다발의 모든 올들은 차원이 같아야 하므로, 이 경우 f^*의 핵과 여핵은 X 벡터 다발을 이루지 않는다.

이 경우, \ker f^*는 부분 공간 f^{-1}(0)\subset X 위에만 존재하는 "벡터 다발"이며, \operatorname{coker}f^*는 부분 공간 f^{-1}(\mathbb R\setminus\{0\})\subset X 위에만 존재하는 "벡터 다발"이다. 이와 같이, "부분 공간 위의 벡터 다발"을 허용하여, 유한 차원 벡터 다발의 범주를 더 확장시켜 얻는 아벨 범주를 생각해 볼 수 있다. 이러한 아벨 범주는 존재하며, 그 원소를 연접층이라고 한다.

연접층의 범주는 아벨 범주를 이루지만, 이는 단사 대상을 충분히 가지는 범주가 아니므로 그 층 코호몰로지를 정의하기가 복잡하다. 이 대신, 모든 무한 차원일 수 있는 벡터 다발을 포함하는 아벨 범주준연접층의 범주는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이며, 따라서 층 코호몰로지를 쉽게 정의할 수 있다.

정의[편집]

유한형층과 유한 표시층[편집]

환 달린 공간 (X,\mathcal O_X)가 주어졌다고 하자. \mathcal O_X-가군층 \mathcal F가 다음 조건을 만족하면, 이를 유한형층(有限形層, 영어: sheaf of modules of finite type, 프랑스어: faisceau de type fini)이라고 한다.[1]:207, Définition §2.1[2]:45, (5.2.1)

\mathcal O_X-가군층 \mathcal F가 다음 조건을 만족하면, 이를 유한 표시층(有限表示層, 영어: finitely presented sheaf of modules, 프랑스어: faisceau admettant une présentation finie)이라고 한다.[2]:46, (5.2.5)

연접층과 준연접층[편집]

다음 조건들을 만족시키는 \mathcal O_X-가군층 \mathcal F준연접층(準連接層, 영어: quasicoherent sheaf, 프랑스어: faisceau quasi-cohérent)이라고 한다.[2]:45, (5.1.3)

여기서 \kappa\lambda는 임의의 기수이다.

다음 조건들을 만족시키는 \mathcal O_X-가군층 \mathcal F연접층이라고 한다.[1]:208, Définition §2.2[2]:47, (5.3.1)

위 정의는 장피에르 세르알렉산더 그로텐디크가 사용하는 정의다. 로빈 하츠혼이 사용하는 정의[3]:111는 조금 다르지만, 뇌터 스킴의 경우에는 위 정의와 동치이다.

국소 자유층[편집]

다음 조건들을 만족시키는 \mathcal O_X-가군층 \mathcal F국소 자유층(局所自由層, 영어: locally free sheaf, 프랑스어: faisceau localement libre)이라고 한다.[2]:48, (5.4.1)

국소 자유층은 벡터 다발에 대응하는 개념이다.

성질[편집]

함의 관계[편집]

임의의 환 달린 공간 위에서, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

연접층 ⊆[2]:47, (5.3.2) 유한 표시층 ⊆[2]:46, (5.2.5) 준연접층 ∩ 유한형층
국소 자유층 ⊆ 준연접층[2]:48, (5.4.1)

국소 뇌터 스킴 위에서는 구조층이 연접층이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.[4]

유한 계수 국소 자유층 ⊆[2]:48, (5.4.1) 연접층 = 유한 표시층 = 준연접층 ∩ 유한형층

동치 조건[편집]

스킴 X 위의 가군층 \mathcal F에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • \mathcal F는 준연접층이다.
  • 임의의 아핀 열린 부분 스킴 \operatorname{Spec}R\subseteq X에 대하여, \mathcal F|_{\operatorname{Spec}R}\mathcal O_{\operatorname{Spec}R}-가군층으로서 어떤 R-가군으로부터 유도된 \mathcal O_{\operatorname{Spec}R}-가군층과 동형이다.
  • X의 어떤 아핀 열린 덮개 \{\operatorname{Spec}R_i\}_{i\in I}에 대하여, \mathcal F|_{\operatorname{Spec}R_i}\mathcal O_{\operatorname{Spec}R_i}-가군층으로서 어떤 R_i-가군으로부터 유도된 \mathcal O_{\operatorname{Spec}R_i}-가군층과 동형이다.

뇌터 스킴 X 위의 준연접층 \mathcal F에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.[3]:111

  • \mathcal F는 연접층이다.
  • X의 어떤 아핀 열린 덮개 \{\operatorname{Spec}R_i\}_{i\in I}에 대하여, \mathcal F|_{\operatorname{Spec}R_i}\mathcal O_{\operatorname{Spec}R_i}-가군층으로서 어떤 R_i-유한 생성 가군으로부터 유도된 \mathcal O_{\operatorname{Spec}R_i}-가군층과 동형이다.

밂과 당김[편집]

스킴 사상에 대하여, 준연접층의 밂은 "거의 항상" 준연접층이다. 즉, 매우 약한 조건 아래 준연접성이 보존된다. 그러나 연접성을 보존하려면 이는 매우 강한 조건(유한 사상)이 필요하다.

즉, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

만약 f에 대한 가군층의 밂 f_* 또는 당김 f^*이 가군층의 특정 성질을 보존하기 위한 충분 조건은 다음과 같다.

당김
준연접층 항상 성립 준콤팩트 준분리 사상
연접층 X, Y: 국소 뇌터 스킴 X, Y: 뇌터 스킴
f: 유한 사상
유한형층 항상 성립 유한형 사상
국소 자유층 항상 성립 (없음)

연접층의 아벨 범주[편집]

임의의 환 달린 공간 X 위의 연접층들의 범주 \operatorname{Coh}(X)아벨 범주이다. 즉, 여핵 등이 존재하며, 호몰로지 대수학을 할 수 있다. 그러나 이는 (거의 항상) 완비 범주쌍대 완비 범주가 아닌데, 이는 유한 계수 국소 자유층들의 무한 직합 또는 직접곱은 유한 계수가 아니어서 연접층이 아니기 때문이다.

일반적 환 달린 공간 위의 준연접층의 범주 \operatorname{QCoh}(X)는 일반적으로 아벨 범주가 아니다. 하지만, 만약 X스킴일 경우는 이는 다음 조건들을 만족시킨다.

즉, \operatorname{QCoh}(X)에서의 쌍대 극한은 가군층으로서의 쌍대 극한과 같다. \operatorname{QCoh}(X)에서의 유한 극한은 가군층으로서의 극한과 같지만, 무한 극한은 가군층의 극한과 일반적으로 다르며, 가군층에서의 극한에 Q를 가한 것이다.

[편집]

가환대수학[편집]

뇌터 가환환 R에 대하여 다음 세 개념이 일치한다.

또한, R 위의 유한 생성 가군들의 범주 \operatorname{fgMod}(R)\operatorname{Coh}(X)는 서로 동치이다.

구체적으로, \mathcal F\in\operatorname{Coh}(X)라면, 이에 대응하여 \mathcal F|_X\mathcal O_X|_X\cong R유한 생성 가군이다.

대수기하학[편집]

뇌터 스킴구조층은 연접층을 이룬다. ([3]:111, Example II.5.2.1에는 모든 스킴의 구조층이 연접층이라고 서술돼 있다. 그러나 하츠혼의 연접층의 정의는 여기서 정의된 연접층의 정의와 다르다. 두 정의는 뇌터 스킴의 경우 동치이다.)

스킴 X의 닫힌 부분 스킴 Y\subseteq X에 대응하는 아이디얼 층은 준연접층이다.

복소기하학[편집]

오카 연접성 정리(영어: Oka coherence theorem)에 따르면, 복소다양체 M 위의 정칙 함수의 층은 연접층이다.[5] 보다 일반적으로, M 위의 해석적 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M이 주어졌을 때, E의 단면층은 연접층이다.

역사[편집]

연접층의 개념은 원래 앙리 카르탕이 1944년 경에 다변수 복소해석학에서 도입하였다. 1946년에 오카 기요시는 오카 연접성 정리를 증명하였다.[5]

1955년에 장피에르 세르는 유명한 논문 〈대수적 연접층〉[1] 에서 연접층의 개념을 대수기하학에 응용하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Serre, Jean-Pierre (1955). “Faisceaux algébriques cohérents” (PDF). 《Annals of Mathematics》 (프랑스어) 61 (2): 197–278. doi:10.2307/1969915. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969915. MR 0068874. 
  2. Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). “Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 4. doi:10.1007/bf02684778. ISSN 0073-8301. MR 0217083. 
  3. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  4. Stacks project: 29.9
  5. Oka, Kiyoshi (1950), “Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. VII. Sur quelques notions arithmétiques”, 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) 78: 1–27, ISSN 0037-9484, MR 0035831 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]