세르 쌍대성

대수기하학에서, 세르 쌍대성(Serre雙對性, 영어: Serre duality)은 복소다양체의 코호몰로지 사이에 존재하는 관계의 하나이다. (실수) 다양체에 존재하는 푸앵카레 쌍대성과 유사하지만, 복소 구조를 사용한다. 장피에르 세르의 이름을 땄다.

정의

$M$이 $n$차원 복소다양체이고, $E$가 $M$ 위의 해석적 벡터다발이라고 하자. $M$의 표준 선다발이 $K$라고 하자. 그렇다면 $M$의 코호몰로지 $\operatorname {H} ^{q}(M,X)$ ($X$는 해석적 벡터다발)에는 다음과 같은 동형사상이 존재한다.

$\operatorname {H} ^{q}(M,E)=\operatorname {H} ^{n-q}(M,K\otimes E^{*})^{*}$

여기서 $^{*}$는 쌍대 공간을 뜻한다.

푸앵카레 쌍대성은 코호몰로지류를 기본류 $[M]$에 대하여 축약시켜 얻지만, 세르 쌍대성은 코호몰로지류를 표준 선다발 $K$에 대하여 축약시켜 얻는다.

특히, 칼라비-야우 다양체의 경우 표준 선다발이 자명하므로 다음과 같은 관계를 유추할 수 있다.

$h^{p,q}=h^{p,n-q}$

여기서 $h^{p,q}=\dim _{\mathbb {C} }\operatorname {H} ^{q}(M,\Omega ^{p})$는 호지 수이다.

더 일반적으로, 세르 쌍대성을 일반적인 연접층에 대하여 정의할 수 있다. $M$이 체 $k$에 대한 $n$차원 스킴이고 ${\mathcal {F}}$가 $M$ 위의 연접층이라면, 다음이 성립한다.

$\operatorname {Ext} ^{n-q}({\mathcal {F}},\omega )=\operatorname {H} ^{q}(M,{\mathcal {F}})^{*}$

여기서 $\omega$는 쌍대화층(dualizing sheaf)라고 불리는 특별한 층이다. 여기서 $H^{n-q}{}^{*}=\hom(H^{n-q},k)$는 쌍대 공간이고, Ext는 Ext 함자다.

같이 보기

• 푸앵카레 쌍대성

참고 문헌

• Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. 

바깥 고리

• “Duality”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Siegel, Charles (2008년 5월 29일). “Serre duality”. 《Rigorous Trivialities》 (영어).