세르 쌍대성

대수기하학에서 세르 쌍대성(Serre雙對性, 영어: Serre duality)은 복소다양체의 코호몰로지 사이에 존재하는 관계의 하나이다. (실수) 다양체에 존재하는 푸앵카레 쌍대성과 유사하지만, 복소 구조를 사용한다. 장피에르 세르의 이름을 땄다.

정의

미분기하학

다음이 주어졌다고 하자.

• 복소수 $n$차원 (실수 $2n$차원) 콤팩트 에르미트 다양체 $M$

그렇다면, 호지 쌍대에 따라서

$*\colon \Omega ^{p,q}(M)\to \Omega ^{n-q,n-p}(M)$

$*\circ *=(-)^{(p+q)(2n-p-q)}=(-)^{p+q}$

가 존재한다. 이는 복소수 선형 변환이다. 또한, 복소켤레에 따라서

${\overline {(-)}}\colon \Omega ^{p,q}(M)\to \Omega ^{q,p}(M)$

${\overline {(-)}}\circ {\overline {(-)}}=1$

이 존재한다. 이는 실수 선형 변환이지만, 복소수 반선형 변환이다. 이 두 사상은 서로 가환한다.

${\begin{matrix}\Omega ^{p,q}(M)&{\overset {*}{\to }}&\Omega ^{n-q,n-p}(M)\\{\scriptstyle {\overline {(-)}}}\downarrow {\scriptstyle \color {White}{\overline {(-)}}}&&{\scriptstyle \color {White}{\overline {(-)}}}\downarrow {\scriptstyle {\overline {(-)}}}\\\Omega ^{q,p}(M)&{\underset {*}{\to }}&\Omega ^{n-p,n-q}(M)\end{matrix}}$

이제,

$\langle -,-\rangle \colon \Omega ^{p,q}(M)\times \Omega ^{p,q}\mapsto \mathbb {C}$

$\langle \alpha ,\beta \rangle \mapsto \int _{M}*{\bar {\alpha }}\wedge \beta$

를 정의하자. 이는 $\Omega ^{p,q}(M)$ 위의 에르미트 형식을 정의한다.

$\langle z\alpha ,w\beta \rangle ={\bar {z}}w\langle \alpha ,\beta \rangle \qquad \forall z,w\in \mathbb {C}$

$\langle \alpha ,\beta \rangle ={\overline {\langle \beta ,\alpha \rangle }}$

이는 일반적으로 양의 정부호가 아니지만, 돌보 코호몰로지로의 몫을 취하면 이는 양의 정부호가 된다. 특히, 이 경우 코호몰로지의 동형

$\operatorname {H} ^{p,q}(M)\cong \operatorname {H} ^{n-p,n-q}(M)^{*}$

이 존재한다. 이를 세르 쌍대성이라고 한다.

보다 일반적으로, 정칙 벡터 다발의 계수를 생각할 수 있다. 즉, 다음이 주어졌다고 하자.

• $M$ 위의 유한 차원 정칙 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$

그렇다면, 그 쌍대 벡터 다발 $E^{*}\twoheadrightarrow M$을 정의할 수 있다.

이 경우, 마찬가지로

$\Omega ^{q}(M;E)\times \Omega ^{n-q}(M;\Omega ^{n}\otimes _{\mathbb {C} }E^{*})\to \mathbb {C}$

$(\alpha ,\beta )\mapsto \int _{M}\alpha \wedge \beta$

가 존재한다. 여기서

$\Omega ^{n}=\bigwedge ^{n}\mathrm {T} ^{*}M$

은 $M$의 표준 선다발이다.

이는 복소수 쌍선형 함수를 이루며, 마찬가지로 층 코호몰로지를 취하면 비퇴화이다. 즉, 복소수 벡터 공간의 동형 사상

$\operatorname {H} ^{q}(M;E)^{*}\cong \Omega ^{n-q}(M;\Omega ^{n}\otimes _{\mathbb {C} }E^{*})$

이 존재한다. 이를 $E$ 계수의 세르 쌍대성이라고 한다.

푸앵카레 쌍대성은 코호몰로지류를 기본류 $[M]$에 대하여 축약시켜 얻지만, 세르 쌍대성은 코호몰로지류를 표준 선다발 $K$에 대하여 축약시켜 얻는다.

대수기하학

더 일반적으로, 세르 쌍대성을 일반적인 연접층에 대하여 정의할 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자.

• 대수적으로 닫힌 체 $k$
• $k$ 위의 순수하게 $n$차원 사영 스킴 $X$
• $X$의 사영 공간으로의 매장 $X\hookrightarrow \mathbb {P} _{k}^{m}$. 그 여차원이 $r=m-n$이라고 하자.

그렇다면, $X$의 쌍대화층(영어: dualizing sheaf)

$\omega _{X}={\underline {\operatorname {Ext} }}_{{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{k}^{m}}}^{r}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbb {P} ^{m}})$

을 정의할 수 있다.

이에 따라서, 다음과 같은 표준적인 동형 사상들이 존재한다.

$\operatorname {Ext} ^{n-q}({\mathcal {F}},\omega _{X})\cong \operatorname {H} ^{q}(M,{\mathcal {F}})^{*}$

여기서 $\operatorname {H} ^{n-q}{}^{*}=\hom(H^{n-q},k)$는 쌍대 공간이고, Ext는 Ext 함자다.

예

리만 곡면

$\Sigma$가 콤팩트 리만 곡면이라고 하고, $L\twoheadrightarrow \Sigma$이 그 위의 정칙 선다발이라고 하자. 그렇다면, 이 경우

$\operatorname {H} ^{i}(\Sigma ;L)=0\qquad \forall i\geq 2$

이며, 세르 쌍대성에 따라서

$\operatorname {H} ^{1}(\Sigma ;L)\cong \operatorname {H} ^{0}(\Sigma ;K_{\Sigma }\otimes _{\mathbb {C} }L^{-1})$

$\operatorname {H} ^{0}(\Sigma ;L)\cong \operatorname {H} ^{1}(\Sigma ;K_{\Sigma }\otimes _{\mathbb {C} }L^{-1})$

이다. 여기서 $K_{\Sigma }=\mathrm {T} ^{*}\Sigma$는 $\Sigma$의 표준 선다발이다.

칼라비-야우 다양체

칼라비-야우 다양체의 경우 표준 선다발이 자명하므로 다음과 같은 관계를 유추할 수 있다.

$h^{p,q}=h^{p,n-q}$

여기서 $h^{p,q}=\dim _{\mathbb {C} }\operatorname {H} ^{q}(M,\Omega ^{p})$는 호지 수이다.

같이 보기

• 푸앵카레 쌍대성

참고 문헌

• Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 

외부 링크

• “Duality”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Serre duality”. 《nLab》 (영어). 
• Siegel, Charles (2008년 5월 29일). “Serre duality”. 《Rigorous Trivialities》 (영어).