정칙 벡터 다발

미분기하학에서 정칙 벡터 다발(正則vector다발, 영어: holomorphic vector bundle) 또는 해석적 벡터 다발(解析的vector다발, 영어: analytic vector bundle)은 복소다양체 위에 정의된, 사영 사상이 정칙 함수인 복소수 벡터 다발이다.

정의

$M$이 복소다양체이고, 그 위에 $\pi \colon E\to M$이 복소수 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면 $E$ 또한 복소다양체를 이룬다. 만약 사영 $\pi$가 복소다양체 사이의 정칙 함수라면, $E$를 정칙 벡터 다발이라고 한다.

마찬가지로, $\pi$의 단면 $s\colon M\to E$가 정칙 함수라면, 이를 $\pi$의 정칙 단면(正則斷面, 영어: holomorphic section)이라고 한다. 정칙 벡터 다발 $E$의 정칙 단면들의 모임은 국소 자유 가군층을 이루며, ${\mathcal {O}}(E)$라고 쓴다. 만약 $E$가 자명한 복소수 선다발 ${\underline {\mathbb {C} }}$라면, ${\mathcal {O}}({\underline {\mathbb {C} }})$는 $M$의 구조층(영어: structure sheaf) ${\mathcal {O}}_{M}$과 같다.

연산

정칙 벡터 다발 $\pi \colon E\twoheadrightarrow M$이 주어졌을 때, 정칙 벡터 다발

$\pi ^{*}\colon E^{*}\twoheadrightarrow M$

을 정의할 수 있다. 그 올

$E_{x}^{*}=\hom _{\mathbb {C} }(E_{x},\mathbb {C} )$

은 $E_{x}$의 복소수 쌍대 공간이다.

반면, 정칙 벡터 다발의 켤레 벡터 다발은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.

성질

정칙 벡터 다발 $E\to M$의 코호몰로지 $H^{\bullet }(-,{\mathcal {O}}(E))$는 그 해석적 단면들의 층 ${\mathcal {O}}(E)$의 층 코호몰로지다. 이 경우, 낮은 차수의 코호몰로지 군은 다음을 나타낸다.

• $H^{0}(M,{\mathcal {O}}(E))$는 $E$의 해석적 단면들의 덧셈에 대한 아벨 군이다.
• $H^{1}(M,{\mathcal {O}}(E))$는 자명 선다발의 $E$에 대한 확대들의 아벨 군이다. 즉, 다음과 같은 꼴의 짧은 완전열을 이루는 해석적 벡터 다발 $F$들로 구성된다.

  $0\to E\to F\to M\times \mathbb {C} \to 0$

정칙 접속

복소다양체 $M$ 위의 복소수 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$ 위의 벡터 다발 접속 $\nabla$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이는 매끄러운 함수 위에 다음과 같이 작용한다.

$\nabla \colon \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} E)\to \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} ^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }E)=\Omega ^{1}(E)$

그런데 복소다양체에서 쌍대접공간 $\mathrm {T} _{x}^{*}M$의 복소화 $\mathrm {T} _{x}^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$는 다음과 같이 분해된다.

$\mathrm {T} _{x}^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\mathrm {T} _{x}^{(0,1)*}M\oplus \mathrm {T} _{x}^{(1,0)*}M$

즉,

$\mathrm {T} ^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }E=(\mathrm {T} ^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} )\otimes _{\mathbb {C} }E=(\mathrm {T} ^{(0,1)*}M\otimes _{\mathbb {C} }E)\oplus (\mathrm {T} ^{(1,0)*}M\otimes _{\mathbb {C} }E)$

와 같은 분해가 존재한다. 이에 따라, 벡터 다발 접속 $\nabla$ 역시 다음과 같은 두 성분으로 분해된다.

$\nabla ^{(1,0)}\colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{1,0}(M;E)$

$\nabla ^{(0,1)}\colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{0,1}(M;E)$

이제, $E$가 정칙 벡터 다발이라고 추가로 가정하자. 그렇다면, 그 단면에는

${\bar {\partial }}\colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{0,1}(M;E)$

가 잘 정의된다. (이는 $E$의 국소 자명화에서 모든 전이 사상이 정칙 함수이기 때문이다. 반면, $\partial \colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{1,0}(M;E)$는 잘 정의되지 않는다. 물론, 만약 $E$가 “반정칙 벡터 다발”일 경우, 반대로 $\partial$이 정의되며 ${\bar {\partial }}$이 정의되지 않는다.) 만약

$\nabla ^{(0,1)}={\bar {\partial }}$

이라면, 접속 $\nabla$를 정칙 접속(영어: holomorphic connection)이라고 한다.

에르미트 계량

에르미트 계량 $\langle -,-\rangle$를 갖춘 복소수 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$의 경우, 에르미트 접속의 개념이 존재한다. 만약 $E$가 추가로 정칙 벡터 다발일 경우, 정칙 접속이자 에르미트 접속인 벡터 다발 접속의 개념을 생각할 수 있다. 이러한 접속은 항상 유일하게 존재하며, 이를 천 접속([陳]接續, 영어: Chern connection)이라고 한다. 천 접속의 곡률은 (1,1)차 복소수 미분 형식이다.

만약 $E$가 켈러 다양체의 정칙 접다발인 경우, 천 접속은 리만 계량으로 유도되는 레비치비타 접속과 같다.

정칙 선다발 $\pi \colon L\to M$의 국소 자명화

$\phi _{i}\colon \pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathbb {C}$

가 주어졌다고 하고, 그 전이 함수가

$g_{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\to \mathbb {C} ^{\times }$

라고 하자. 이 경우, 에르미트 계량은 항상

$\langle s,t\rangle (z)=\exp(2a_{i}(z)){\bar {s}}t\qquad \forall s,t\in \Gamma (U_{i},L)$

$a_{i}\colon U_{i}\to \mathbb {R}$

이게 놓을 수 있으며, 에르미트 계량의 조건은

$a_{j}(x)=a_{i}(x)+\ln |g_{ij}|\qquad \forall x\in U_{i}\cap U_{j}$

인 것이다. 이 경우, 천 접속의 곡률은

$F\upharpoonright U_{i}=-{\frac {1}{2}}\mathrm {i} \partial {\bar {\partial }}a_{i}$

로 주어진다.

예

정칙 접다발

복소다양체 $M$의 접다발 $\mathrm {T} M$을 생각하자. 그 위에 복소구조 $J\colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} M$가 작용하며, 이는 정의에 따라 $J^{2}=-1$을 만족시킨다. 즉,

$J\colon \mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} \to \mathrm {T} M\otimes \mathbb {C}$

의 고윳값은 $\pm \mathrm {i}$이며, 이에 의하여

$\mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} =\mathbb {T} ^{+}M\oplus \mathrm {T} ^{-}M$

으로 분해된다. 이 경우, $\mathrm {T} ^{+}M$은 정칙 접다발(영어: holomorphic tangent bundle)이라고 하며, 정칙 벡터 다발이다. (반면, $\mathrm {T} ^{-}M$은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.)

대수적 벡터 다발

비특이 복소수 대수다양체 $X$ 위의 대수적 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow X$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응되는 복소다양체 $X^{\operatorname {an} }$ 및 복소다양체 사이의 정칙 함수 $E^{\operatorname {an} }\twoheadrightarrow X^{\operatorname {an} }$를 취할 수 있다. 이 경우, 이는 정칙 벡터 다발을 이룬다.

반대로, 만약 $X$가 추가로 사영 대수다양체라면, $X^{\operatorname {an} }$ 위의 모든 정칙 벡터 다발은 $X$ 위의 대수적 벡터 다발에서 유래한다. 이는 가가 정리의 한 경우이다.

자명한 다발

복소수 벡터 공간 $\mathbb {C} ^{n}$ 위의 자명한 복소수 벡터 다발

$\mathbb {C} ^{m}\times \mathbb {C} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {C} ^{n}$

은 (자명하게) 정칙 벡터 다발이다.

역사

에르미트 정칙 벡터 다발의 천 접속은 천싱선이 도입하였다.

외부 링크

• “Vector bundle, analytic”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Holomorphic vector bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Holomorphic line bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Holomorphic vector bundle”. 《nLab》 (영어).