대수기하학에서 대수적 벡터 다발(代數的vector다발, 영어: algebraic vector bundle)이란 전이 함수가 다항함수인 벡터 다발의 개념이다. 이는 다양체 위의 벡터 다발의 개념과 달리 임의의 체를 계수로 하여 정의될 수 있다.
대수적 벡터 다발의 개념은 기하학적으로 어떤 특정한 스킴 사상으로 정의될 수 있으며, 어떤 특별한 가군층으로 정의될 수도 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다.
1차원 대수적 벡터 다발은 대수적 선다발(영어: algebraic line bundle)이라고 한다.
스킴을 통한 정의[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- 스킴
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- 자연수
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
만약 다음 조건들이 성립한다면,
를
차원 대수적 벡터 다발이라고 한다.
- 스킴
![{\displaystyle E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
- 전사 함수인 스킴 사상
![{\displaystyle \pi \colon E\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9d6e10a97de4dd6d790d2ef4a13adf0e38052f)
의 어떤 열린 덮개 ![{\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf91339c1648ed6bcadc0f8e06fbde97a884bbc)
- 각
에 대하여, 스킴 동형 사상 ![{\displaystyle \pi ^{-1}(U_{i})\to \mathbb {A} _{U_{i}}^{n}=\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}\times U_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc2d4b7d09d2a976ffcebe3f3ab901b499efc2d8)
이 조건은 다음을 만족시켜야 한다.
- 임의의
및 아핀 열린 부분 스킴
에 대하여, 이로 유도되는 가환환 준동형
은 어떤 정사각 행렬
에 대하여
,
로 주어진다. 또한, 이는 환의 동형 사상이어야 한다. 즉,
은 가역 행렬이다.
같은 스킴
위의 두 대수적 벡터 다발
,
사이의 동형 사상은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
-스킴의 동형 사상 ![{\displaystyle \iota \colon E/X\to E'/X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd9780e00144176f9e8d55478960f59d5249c8c4)
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
은 대수적 벡터 다발을 이룬다.
층 이론을 통한 정의[편집]
환 달린 공간
위의 국소 자유 가군층은
-가군층
가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.
- 임의의
에 대하여,
인 자연수
과 열린 근방
dㅣ 존재한다.
환 달린 공간
위의
차원 대수적 벡터 다발(또는 유한 계수 국소 자유층)은
-가군층
가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.
- 어떤 열린 덮개
에 대하여, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \forall i\in I\colon {\mathcal {E}}\upharpoonright U_{i}\cong (\underbrace {{\mathcal {O}}_{X}\oplus \dotsb \oplus {\mathcal {O}}_{X}} _{n})\upharpoonright U_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c96debf58fbc6c7c5db9c899e50624cf8a53dd)
즉, 이는 국소 자유 가군층 가운데 계수가 일정하며 유한한 것이다.
두 정의 사이의 관계[편집]
층 이론을 통한 정의는 임의의 환 달린 공간에 대하여 정의되며, 반대로 스킴을 통한 정의는 스킴에 대해서만 정의된다. 스킴은 환 달린 공간의 특수한 경우이며, 스킴의 경우 이 두 정의는 서로 동치이다.[1]:128–129, Exercise Ⅱ.5.18 구체적으로, 스킴을 통한 정의에서, 대수적 벡터 다발
의 단면들은 가군층을 이루며, 이 가군층은 층을 통한 정의에 부합한다.
가가 정리에 따라서, 복소수 사영 대수다양체에 대응되는 콤팩트 복소다양체 위의 모든 해석적 벡터 다발은 대수적 벡터 다발로 주어진다.
외부 링크[편집]