대수적 벡터 다발

대수기하학에서 대수적 벡터 다발(代數的vector다발, 영어: algebraic vector bundle)이란 전이 함수가 다항함수인 벡터 다발의 개념이다. 이는 다양체 위의 벡터 다발의 개념과 달리 임의의 체를 계수로 하여 정의될 수 있다.

정의

대수적 벡터 다발의 개념은 기하학적으로 어떤 특정한 스킴 사상으로 정의될 수 있으며, 어떤 특별한 가군층으로 정의될 수도 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다.

1차원 대수적 벡터 다발은 대수적 선다발(영어: algebraic line bundle)이라고 한다.

스킴을 통한 정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 스킴 $X$
• 자연수 $n$

만약 다음 조건들이 성립한다면, $\pi$를 $n$차원 대수적 벡터 다발이라고 한다.

• 스킴 $E$
• 전사 함수인 스킴 사상 $\pi \colon E\to X$
• $X$의 어떤 열린 덮개 ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$
• 각 $i\in I$에 대하여, 스킴 동형 사상 $\pi ^{-1}(U_{i})\to \mathbb {A} _{U_{i}}^{n}=\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}\times U_{i}$

이 조건은 다음을 만족시켜야 한다.

• 임의의 $i,j\in I$ 및 아핀 열린 부분 스킴 $\operatorname {Spec} R\hookrightarrow U_{i}\cap U_{j}$에 대하여, 이로 유도되는 가환환 준동형 $R[x_{1},\dotsc ,x_{n}]\to R[y_{1},\dotsc ,y_{n}]$은 어떤 정사각 행렬 $M\in \operatorname {Mat} (n,n;R)$에 대하여 $r\mapsto r\;\forall r\in R$, $x_{i}\mapsto \textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}M_{ij}$로 주어진다. 또한, 이는 환의 동형 사상이어야 한다. 즉, $M$은 가역 행렬이다.

같은 스킴 $X$ 위의 두 대수적 벡터 다발 $(E,\pi ,{\mathcal {U}})$, $(E',\pi ',{\mathcal {U}}')$ 사이의 동형 사상은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $X$-스킴의 동형 사상 $\iota \colon E/X\to E'/X$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• $(E,\pi ,{\mathcal {U}}\cap {\mathcal {U}}')$은 대수적 벡터 다발을 이룬다.

층 이론을 통한 정의

환 달린 공간 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 위의 국소 자유 가군층은 ${\mathcal {O}}_{X}$-가군층 ${\mathcal {E}}$ 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.

• 임의의 $x\in X$에 대하여, ${\mathcal {E}}\upharpoonright U_{i}\cong ({\mathcal {O}}_{X}\upharpoonright U)^{\oplus n}$인 자연수 $n\in \mathbb {N}$과 열린 근방 $U\ni x$dㅣ 존재한다.

환 달린 공간 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 위의 $n$차원 대수적 벡터 다발(또는 유한 계수 국소 자유층)은 ${\mathcal {O}}_{X}$-가군층 ${\mathcal {E}}$ 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.

• 어떤 열린 덮개 $(U_{i})_{i\in I}$에 대하여, 다음이 성립한다.

  $\forall i\in I\colon {\mathcal {E}}\upharpoonright U_{i}\cong (\underbrace {{\mathcal {O}}_{X}\oplus \dotsb \oplus {\mathcal {O}}_{X}} _{n})\upharpoonright U_{i}$

즉, 이는 국소 자유 가군층 가운데 계수가 일정하며 유한한 것이다.

두 정의 사이의 관계

층 이론을 통한 정의는 임의의 환 달린 공간에 대하여 정의되며, 반대로 스킴을 통한 정의는 스킴에 대해서만 정의된다. 스킴은 환 달린 공간의 특수한 경우이며, 스킴의 경우 이 두 정의는 서로 동치이다.^{:128–129, Exercise Ⅱ.5.18} 구체적으로, 스킴을 통한 정의에서, 대수적 벡터 다발 $\pi \colon E\to X$의 단면들은 가군층을 이루며, 이 가군층은 층을 통한 정의에 부합한다.

성질

가가 정리에 따라서, 복소수 사영 대수다양체에 대응되는 콤팩트 복소다양체 위의 모든 해석적 벡터 다발은 대수적 벡터 다발로 주어진다.

외부 링크

• “Vector bundle, algebraic”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Algebraic vector bundle”. 《nLab》 (영어).