미분기하학에서 정칙 벡터 다발(正則vector다발, 영어: holomorphic vector bundle) 또는 해석적 벡터 다발(解析的vector다발, 영어: analytic vector bundle)은 복소다양체 위에 정의된, 사영 사상이 정칙 함수인 복소수 벡터 다발이다.[1]
이 복소다양체이고, 그 위에
이 복소수 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면
또한 복소다양체를 이룬다. 만약 사영
가 복소다양체 사이의 정칙 함수라면,
를 정칙 벡터 다발이라고 한다.
마찬가지로,
의 단면
가 정칙 함수라면, 이를
의 정칙 단면(正則斷面, 영어: holomorphic section)이라고 한다. 정칙 벡터 다발
의 정칙 단면들의 모임은 국소 자유 가군층을 이루며,
라고 쓴다. 만약
가 자명한 복소수 선다발
라면,
는
의 구조층(영어: structure sheaf)
과 같다.
정칙 벡터 다발
이 주어졌을 때, 정칙 벡터 다발
![{\displaystyle \pi ^{*}\colon E^{*}\twoheadrightarrow M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/839d95e063d138975fcb898817ee59130d06d842)
을 정의할 수 있다. 그 올
![{\displaystyle E_{x}^{*}=\hom _{\mathbb {C} }(E_{x},\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e4d95364aa84c3762a08174c5463bfd4c6a821)
은
의 복소수 쌍대 공간이다.
반면, 정칙 벡터 다발의 켤레 벡터 다발은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.
정칙 벡터 다발
의 코호몰로지
는 그 해석적 단면들의 층
의 층 코호몰로지다. 이 경우, 낮은 차수의 코호몰로지 군은 다음을 나타낸다.
는
의 해석적 단면들의 덧셈에 대한 아벨 군이다.
는 자명 선다발의
에 대한 확대들의 아벨 군이다. 즉, 다음과 같은 꼴의 짧은 완전열을 이루는 해석적 벡터 다발
들로 구성된다.
![{\displaystyle 0\to E\to F\to M\times \mathbb {C} \to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ab55397c9032cb816404387d3e304dbc16e388)
정칙 접속[편집]
복소다양체
위의 복소수 매끄러운 벡터 다발
위의 벡터 다발 접속
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이는 매끄러운 함수 위에 다음과 같이 작용한다.
![{\displaystyle \nabla \colon \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} E)\to \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} ^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }E)=\Omega ^{1}(E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512710eeab9e1ecaaa4e3bf7e39c35739b85c508)
그런데 복소다양체에서 쌍대접공간
의 복소화
는 다음과 같이 분해된다.
![{\displaystyle \mathrm {T} _{x}^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\mathrm {T} _{x}^{(0,1)*}M\oplus \mathrm {T} _{x}^{(1,0)*}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8298fbabbd9ab6b550e6e52b25641291d5c86d5)
즉,
![{\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }E=(\mathrm {T} ^{*}M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} )\otimes _{\mathbb {C} }E=(\mathrm {T} ^{(0,1)*}M\otimes _{\mathbb {C} }E)\oplus (\mathrm {T} ^{(1,0)*}M\otimes _{\mathbb {C} }E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82fb8214b86a15803d57d0316a45e5045bb9b05b)
와 같은 분해가 존재한다. 이에 따라, 벡터 다발 접속
역시 다음과 같은 두 성분으로 분해된다.
![{\displaystyle \nabla ^{(1,0)}\colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{1,0}(M;E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb2d8bd0e9ec177a6562170d3dc897f3bdf363b)
![{\displaystyle \nabla ^{(0,1)}\colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{0,1}(M;E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7429dc61fa2ad4deacbb6d56a4e3ffe1d6d3d692)
이제,
가 정칙 벡터 다발이라고 추가로 가정하자. 그렇다면, 그 단면에는
![{\displaystyle {\bar {\partial }}\colon \Omega ^{0}(M;E)\to \Omega ^{0,1}(M;E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6ac4f334a829309f0bb4cb83c510bb2503aecc9)
가 잘 정의된다. (이는
의 국소 자명화에서 모든 전이 사상이 정칙 함수이기 때문이다. 반면,
는 잘 정의되지 않는다. 물론, 만약
가 “반정칙 벡터 다발”일 경우, 반대로
이 정의되며
이 정의되지 않는다.) 만약
![{\displaystyle \nabla ^{(0,1)}={\bar {\partial }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f1d30981380f564844976011dfe440b5174135)
이라면, 접속
를 정칙 접속(영어: holomorphic connection)이라고 한다.
에르미트 계량[편집]
에르미트 계량
를 갖춘 복소수 벡터 다발
의 경우, 에르미트 접속의 개념이 존재한다. 만약
가 추가로 정칙 벡터 다발일 경우, 정칙 접속이자 에르미트 접속인 벡터 다발 접속의 개념을 생각할 수 있다. 이러한 접속은 항상 유일하게 존재하며, 이를 천 접속([陳]接續, 영어: Chern connection)이라고 한다. 천 접속의 곡률은 (1,1)차 복소수 미분 형식이다.
만약
가 켈러 다양체의 정칙 접다발인 경우, 천 접속은 리만 계량으로 유도되는 레비치비타 접속과 같다.
정칙 선다발
의 국소 자명화
![{\displaystyle \phi _{i}\colon \pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/713d199af0d1e1b63b22180069708df065785a31)
가 주어졌다고 하고, 그 전이 함수가
![{\displaystyle g_{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\to \mathbb {C} ^{\times }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4407a81b0a11ce0f8a2e1267f0fed2cf97cdf89c)
라고 하자. 이 경우, 에르미트 계량은 항상
![{\displaystyle \langle s,t\rangle (z)=\exp(2a_{i}(z)){\bar {s}}t\qquad \forall s,t\in \Gamma (U_{i},L)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/647fa2ca95983625ff85b24aa424e93c2fc8b9ee)
![{\displaystyle a_{i}\colon U_{i}\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa86daf411dab1bff7971b9bfaa52d3e96ee9619)
이게 놓을 수 있으며, 에르미트 계량의 조건은
![{\displaystyle a_{j}(x)=a_{i}(x)+\ln |g_{ij}|\qquad \forall x\in U_{i}\cap U_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1993ac4724b66d25e336dcba573e39864a37052a)
인 것이다. 이 경우, 천 접속의 곡률은
![{\displaystyle F\upharpoonright U_{i}=-{\frac {1}{2}}\mathrm {i} \partial {\bar {\partial }}a_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2581d09c487380ad7946f44c7034035691bafeaf)
로 주어진다.
정칙 접다발[편집]
복소다양체
의 접다발
을 생각하자. 그 위에 복소구조
가 작용하며, 이는 정의에 따라
을 만족시킨다. 즉,
![{\displaystyle J\colon \mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} \to \mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d73eabdb51a4c64763956fb1fc9fb787df5e150)
의 고윳값은
이며, 이에 의하여
![{\displaystyle \mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} =\mathbb {T} ^{+}M\oplus \mathrm {T} ^{-}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e1a4d6bfe7ee6633dcd67dc328c6aa120a349e)
으로 분해된다. 이 경우,
은 정칙 접다발(영어: holomorphic tangent bundle)이라고 하며, 정칙 벡터 다발이다. (반면,
은 일반적으로 정칙 벡터 다발이 아니다.)
대수적 벡터 다발[편집]
비특이 복소수 대수다양체
위의 대수적 벡터 다발
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응되는 복소다양체
및 복소다양체 사이의 정칙 함수
를 취할 수 있다. 이 경우, 이는 정칙 벡터 다발을 이룬다.
반대로, 만약
가 추가로 사영 대수다양체라면,
위의 모든 정칙 벡터 다발은
위의 대수적 벡터 다발에서 유래한다. 이는 가가 정리의 한 경우이다.
자명한 다발[편집]
복소수 벡터 공간
위의 자명한 복소수 벡터 다발
![{\displaystyle \mathbb {C} ^{m}\times \mathbb {C} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {C} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d3df0473a2d45c0e1a7fa6593f02d5552a9a57c)
은 (자명하게) 정칙 벡터 다발이다.
에르미트 정칙 벡터 다발의 천 접속은 천싱선이 도입하였다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]