표준 선다발

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대수기하학에서, 표준 선다발(標準線다발, 영어: canonical line bundle) 또는 표준 선속(標準線束)은 켈러 미분의 층의 최고차 외부 거듭제곱이다.

정의[편집]

대수적으로 닫힌 체 위의 n차원 비특이 대수다양체 X표준 선다발 \omega_X은 다음과 같은 가역층이다.[1]:180–181

\omega_X=\bigwedge^n\Omega_{X/k}

여기서 \Omega_{X/k}켈러 미분층이다. 표준 선다발에 대응하는 인자류표준류(標準類, 영어: canonical class)라고 하고, 표준류에 속하는 인자를 표준 인자(標準因子, 영어: canonical divisor) K_X라고 한다.

만약 X가 특이점을 가지지만 정규 대수다양체인 경우, 매끄러운 궤적(영어: smooth locus) U\subset X가 존재한다. 이 경우, X의 표준 인자는 U의 표준 인자로 정의한다. 보다 일반적으로, X가 S2 조건(여차원 2까지 코언-매콜리 조건이 성립)을 만족시키며 고런스틴 스킴이라면, 위와 같이 표준 인자를 정의할 수 있다.

표준 선다발의 역을 반표준 선다발(反標準線다발, 영어: anticanonical line bundle) \omega_X^{-1}이라고 한다. 반표준류(反標準類, 영어: anticanonical class) 및 반표준 인자(反標準因子, 영어: anticanonical divisor)는 이에 대응하는 인자(류)이다.

첨가 공식[편집]

첨가 공식(添加公式, 영어: adjunction formula)은 어떤 부분 대수다양체의 표준 선다발과 전체 공간의 표준 선다발 사이의 관계를 나타내는 공식이다.

비특이 대수다양체 X 위의 인자 D에 대하여, 다음과 같은 첨가 공식이 성립한다.

K_D = (K_X+D)|_D

즉, 선다발로는 다음과 같다. D로 정의되는 부분다양체를 Y, 매장 사상을 \iota\colon Y\hookrightarrow X라고 하면, 다음과 같다.

\mathcal K_Y=\iota^*(\mathcal K_X\otimes\mathcal O(D))

여차원이 2 이상일 경우에도 유사한 첨가 공식이 성립한다. 비특이 대수다양체 X의 닫힌 비특이 부분 대수다양체 \iota\colon Y\hookrightarrow X가 주어졌고, 이에 대응하는 아이디얼 층\mathcal I라고 하자. 이 경우, \mathcal I/\mathcal I^2Y자리스키 쌍대법다발이다. 이 경우, 다음과 같은 아벨 군 짧은 완전열이 존재한다.[1]:182

0\to\mathcal I/\mathcal I^2\to\iota^*T^*X\to T^*Y\to 0

여기서 T^*공변접다발이다. 완전열의 모든 항에 최고차 외부 거듭제곱을 취하면, 다음을 얻는다.[2]:146–147[1]:182, Proposition II.8.20

\mathcal K_Y=\iota^*\mathcal K_X\otimes\left(\det(\mathcal I/\mathcal I^2)\right)^\vee

여기서 (-)^\vee는 쌍대 다발을 뜻한다.

[편집]

복소수체 위의 n차원 비특이 대수다양체의 경우, 표준 선다발은 행렬식 다발(영어: determinant bundle)이라고 하며, n정칙 미분 형식들의 선다발이다. (단일 연결) 칼라비-야우 다양체의 경우, 표준 선다발은 자명하다. 파노 다양체의 경우, 반표준 선다발은 풍부한 선다발이다.

리만 곡면의 표준 선다발[편집]

리만 곡면(=1차원 복소수 비특이 대수다양체) C 위의 표준 선다발은 정칙 공변접다발 \Omega_C와 같으며, 그 차수는 다음과 같다.

\deg\omega_C=2g-2=-\chi(C)

특히, g\ge2인 경우 이는 효과적 인자를 이룬다. 이 경우, \omega_Cg개의 단면들은 유리 사상 C\to\mathbb{P}_{\mathbb C}^{g-1}을 정의한다. 이 유리 사상의 상은 사영 곡선을 이루며, 이를 표준 곡선(영어: canonical curve)이라고 한다.

만약 C초타원 곡선일 경우, 그 표준 곡선은 유리 곡선이며, 유리 사상은 두 겹 피복 공간을 이룬다. 예를 들어, C의 종수가 2이며, C가 다음과 같은 (아핀) 방정식으로 정의된다고 하자.

y^2=P(x)

여기서 P는 6차 다항식이다. 그렇다면, 이 위의 제1종 미분(=(1,0)차 복소수 미분 형식)은 다음과 같이 두 개가 있다.

\frac1{\sqrt{P(x)}}\,dx,\;\frac x{\sqrt{P(x)}}\,dx

이에 따라서, 표준 곡선은

(x,y)\mapsto x\in\mathbb{P}_{\mathbb C}^1

임을 알 수 있다. 이는 물론 두 겹 피복 공간이다.

만약 C가 초타원 곡선이 아닌 종수 3 이상의 곡선일 경우, C의 표준 곡선은 C와 동형이다. 예를 들어, 다음과 같다.

  • 종수 3인 경우, 표준 곡선은 4차 평면 곡선이다.
  • 종수 4인 경우, 표준 곡선은 2차 곡면과 3차 곡면의 교집합이다.
  • 종수 5인 경우, 표준 곡선은 세 개의 2차 초곡면의 교집합이다.

사영 공간[편집]

대수적으로 닫힌 체 K 위의 사영 공간 \mathbb P_K^n에 대하여, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.[1]:176, Theorem II.8.13 이를 오일러 완전열이라고 한다.

0\to\Omega_{\mathbb P_K^n}^1\to\mathcal O_{\mathbb P_K^n}(-1)^{\oplus(n+1)}\to\mathcal O_{\mathbb P_K^n}(0)\to0

모든 항에 최고차 외부 거듭제곱을 취하면, 다음을 얻는다.[1]:182, Example II.8.20.1

\omega_{\mathbb P_K^n}=\mathcal O_{\mathbb P_K^n}(-n-1)

사영 공간 속의 초곡면[편집]

n차원 사영 공간 \mathbb P^n 속에서, 동차다항식P_i으로 정의되는 초곡면 Y_i\hookrightarrow\mathbb P^n들의 완전 교차(영어: complete intersection)

Y=\bigcap_{i=1}^{\operatorname{codim}Y}Y_i

를 생각하자. 이 경우,

\omega_{\mathbb P^n}=\mathcal O(-n-1)
\mathcal O(Y_i)=\deg P_i

이므로, 첨가 공식에 따라서 Y의 표준 선다발은 다음과 같다.

\omega_Y=\mathcal O\left(\sum_i\deg P_i-n-1\right)

만약

\sum_i\deg P_i=n+1

이라면 표준 선다발은 자명하며, 이 경우 (비특이 대수다양체라면) Y칼라비-야우 다양체를 이룬다.

특히, 사영 평면 속의 d차 대수 곡선 C\subset\mathbb P^2의 표준 선다발은 다음과 같다.[1]:361, Example V.1.5.1; 183, Example II.8.20.3

\omega_C=\mathcal O(d-3)

d차 평면 대수 곡선의 경우

\deg\mathcal O(1)=d

이므로,

\deg\omega_C=d(d-3)

이다. 리만-로흐 정리에 따라서

\deg\omega_C=2g-2=-\chi(\Sigma)

이므로, 다음과 같은 종수-차수 공식(種數次數公式, 영어: genus–degree formula)을 얻는다.

g=\frac12(d-1)(d-2)

이차 곡면 위의 곡선의 종수[편집]

첨가 공식을 사용하여 이차 곡면 \mathbb P^1\times\mathbb P^1 속의 곡선의 종수를 계산할 수 있다.[1]:362, Example V.1.5.2 곡선 C의 차수가 (d_1,d_2)라고 하자. \mathbb P^1\times\mathbb P^1의 표준 선다발의 차수는 (-2,-2)이다. 즉, C의 차수는 (d_1-2,d_2-2)(d_1,d_2)교차곱이다. 이차 평면 위의 교차곱은 다음과 같다.[1]:361, Example V.1.4.3

(a,b).(c,d)=ad+bc

따라서, 다음이 성립한다.

2g-2=d_1(d_2-2)+d_2(d_1-2)

즉,

g=d_1d_2-d_1-d_2+1

이다.

참고 문헌[편집]

  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  2. Griffiths, Philip; Harris, Joseph (1994년 8월). 《Principles of algebraic geometry》 (영어). Wiley Classics Library 2판. Wiley. doi:10.1002/9781118032527. ISBN 978-0-471-05059-9. MR 1288523. Zbl 0836.14001. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]