에르미트 다양체

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

미분기하학에서, 에르미트 다양체(Hermite多樣體, 영어: Hermitian manifold)는 일종의 계량 텐서를 가진 복소다양체이다. 복소 기하학에서 리만 다양체에 대응되는 개념이다.

켈러 다양체칼라비-야우 다양체는 에르미트 다양체의 특수한 경우다.

정의[편집]

에르미트 계량[편집]

매끄러운 다양체 위의 차원 매끄러운 벡터 다발 위의 개복소구조(영어: almost complex structure), 즉 이 되는 매끄러운 단면 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 에 대하여,

고윳값 를 가지며, 따라서 부분 복소수 벡터 공간

을 정의할 수 있다. 또한, 표준적인 사상

이 존재한다.

그렇다면, 위의 에르미트 계량(Hermitian metric)은 다음 두 성질을 만족시키는 매끄러운 단면

이다. (여기서 는 각 올에 대한 복소수 연속 쌍대 공간을 취하는 것이다.)

여기서 복소수복소켤레를 뜻한다. 이를 국소 좌표계로 표현하면 다음과 같다. 우선, 의 첨자를 로, 의 첨자를 로 표기하자. 마찬가지로, 에 대하여 의 성분을 로, 의 성분을 로 표기하자. 그렇다면,

특히, 첫째 조건은 에르미트 행렬을 이룬다는 것이며, 둘째 조건은 이 에르미트 행렬고윳값이 모두 양의 실수라는 것이다.

에르미트 다양체[편집]

개복소다양체 (또는 복소다양체) 이 주어졌다고 하자. 이 경우, 접다발 위에 개복소구조 가 주어져 을 정의할 수 있다.

에르미트 다양체 위에 에르미트 계량 가 주어진 복소다양체이다.

성질[편집]

리만 구조[편집]

모든 에르미트 다양체는 자연스러운 리만 계량을 가져, 리만 다양체를 이룬다. 이 경우 리만 계량은 다음과 같다.

이 경우, 이므로, 이는 로 제약이 가능하며, 이는 리만 계량을 이룬다.

또한, 를 사용하여 다음과 같은 (1,1)-복소수 미분 형식 를 정의할 수 있다.

천 접속[편집]

복소다양체 위의 해석적 벡터 다발 위의 에르미트 계량 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 위에는 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 코쥘 접속 가 존재한다. 이를 천 접속([陳]接續, Chern connection)이라고 한다.

만약 일 경우 (에르미트 다양체), 이는 위의 레비치비타 접속과는 다르며, 비틀림을 가진다. 다만, 만약 에르미트 다양체가 켈러 다양체인 경우, 비틀림이 0이며, 천 접속과 레비치비타 접속은 일치한다.

외부 링크[편집]